Экстремум функции.

Точка х₀ называется точкой минимума функции ¦(х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство ¦(х) ³ ¦(х₀).

Точка х₁ называется точкой максимума функции ¦(х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравенство ¦(х) £ ¦(х₁).

Значение функции в точках х₀ и х₁ называются соответственно минимумом и максимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀.

Теорема (необходимое условие экстремума). Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢(х₀) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную у¢ = ¦¢(х).

2. Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию у = х³ - 3х.

Р е ш е н и е.

1. Находим производную этой функции у¢ = 3х² – 3 = 3(х - 1)(х + 1).

2. Находим стационарные точки функции, приравнивая производную к нулю, х =1, х = - 1 (Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет - ¦¢( х) определена на всей числовой прямой).

3. Нанесем стационарные точки на числовую прямую (рис.5):

Рис.5.

При переходе через точку х = -1 функция меняет знак с плюса на минус, значит эта точка максимума, а при переходе через точку х = 1 функция меняет знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума.

4.Находим ¦_max( -1) = 2, ¦_min( 1) = - 2.