Определение производной.

Пусть дана функция у = ¦(х). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное – х₀ и новое – х.

Разность Dх = х - х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀.

Разность Dу = у – у₀ =¦(х) - ¦(х₀) называется приращением функции у = ¦(х) в точке х₀.

Так как х = х₀+Dх, а у = у₀+Dу, то Dу = ¦( х₀+Dх ) - ¦( х ).

Пример 1. Найти приращение функции у = х² в точке х₀.

Р е ш е н ие. Dу = ¦( х₀+Dх ) - ¦( х ) = [х₀+Dх]² – [х₀]² = [(х₀)²+2xDх + + (Dх)²] – [х₀]² = 2 х₀ Dх + (Dх)².

Пусть функция у = ¦(х) определена на промежутке Х.Возьмем точку хÎХ. Дадим значению х приращение Dх¹0, тогда функция получит приращение Dу = ¦( х+Dх ) - ¦( х ). Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.

Производная функции у = ¦(х) обозначается символом ¦¢( х).

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции у = ¦(х) в точке х₀ является значением функции ¦¢( х) в точке х₀.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Пример 2. Найти производную функции у = х².

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.