Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая или просто .

Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция , которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий и .

Таким образом, по определению

(6.2)

событие означает произведение событий и .

Геометрически функция интерпретируется как вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже ее (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины находится суммированием всех вероятностей , для которых , т.е.

(6.3)

Геометрическая интерпретация функции распределения позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины:

1. Функция распределения ограничена, т.е.

2. не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т.е.

при

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция распределения равна нулю, т.е.

4. Если оба аргумента обращаются в , то равна 1, т.е.

5. Если один из аргументов обращается в , то функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, т.е.

(6.4)

6. непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е.

Зная совместное распределение двух случайных величин X и Y, можно найти одномерные распределения этих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно.

Отметим, что с геометрической точки зрения есть некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной случайной величины), обладающая указанными свойствами.

С помощью функции легко можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольникD со сторонами, параллельными координатным осям: