Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства

Исчерпывающей характеристикой непрерывной двумерной случайной величины является плотность вероятности. Вводится это понятие аналогично тому, как это делалось при рассмотрении плотности распределения вероятностей одной случайной величины.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная .

Плотностью распределения вероятностей (или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения.

Обозначается совместная плотность системы двух непрерывных случайных величин через (или ). Таким образом, по определению

(6.6)

Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины есть предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и , примыкающий к точке , к площади этого прямоугольника, когда его размеры и стремятся к нулю (рис. 6.4).

По аналогии с плотностью вероятности одномерной непрерывной случайной величины, для двумерной случайной величины плотность вероятности определяется как функция , удовлетворяющая условию

(6.7)

выражение называется элементом вероятности двумерной случайной величины .

Рис. 6.4.

Геометрически плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин представляет собой некоторую поверхность, называемую поверхностью распределения (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

Плотность распределения обладает следующимисвойствами:

1. Плотность распределения двумерной случайной величины неотрицательна, т.е.

2. Вероятность попадания случайной точки в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т.е.

(6.8)

3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения по формуле:

(6.9)

4. Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице, т. е.