Условные законы распределения

Если случайные величины Х и Y, образующие систему , зависимы между собой, то для характеристики их зависимости вводится понятие условных законов распределения случайных величин.

Условным законом распределения одной из случайных величин, входящей в систему , называется ее закон распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

Пусть - дискретная двумерная случайная величина и , , . Напомним, что условная вероятностей событий . Тогда условная вероятность того, что случайная величина Y примет значение при условии, что определяется равенством

, , .

(6.14)

Совокупность вероятностей (6.14), т.е. , представляет собой условный закон распределения случайной величины Y при условии . Сумма условных вероятностей равна 1, действительно:

.

(6.15)

Аналогично определяются условная вероятность, условный закон распределения случайной величины Х при условии _.

, , .

(6.16)

Пусть теперь - непрерывная двумерная случайная величина с плотностью , и - плотности распределения соответственно случайной величины Х и случайной величины Y.

Плотность вероятности условного распределения(илиусловная плотность) случайной величины Y при условии Х = х определяется равенством:

, где .

(6.17)

Условная плотность обладает свойствами плотности распределения, так

,

Аналогично определяется условная плотность распределения случайной величины Х при условии Y = у:

, где .

(6.18)

Используя соотношения (6.17) и (6.18) можно записать

,

(6.19)

т.е. совместная плотность распределения системы случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную плотность другой составляющей при заданном значении первой.

Равенство (6.19) называют теоремой (правилом) умножения плотностей распределения.

В случае произвольного типа случайных величин функция распределения системы зависимых случайных величин может быть записана в виде:

,

где - условная функция распределения случайной величины Y при условии ; - условная функция распределения случайной величины Х при условии .

Пример 6.5. Задана таблица распределения двумерной случайной величины :

0,1	0,12	0,08	0,40
0,2	0,16	0,10	0,14

Найти: а) безусловные законы распределения случайных величин Х и Y; б) условный закон распределения случайной величины Х при Y=2.

Решение:

а) Так как и , то

б) С учетом формулы (6.16) имеем:

,

.

Таким образом, условный закон распределения случайной величины Х при Y=2 таков

Х	0,1	0,2

.

Очевидно, несовпадение условного и безусловного законов распределения случайной величины Х. Следовательно, случайные величины Х и Y зависимы.