Многомерные случайные величины

Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения)

Систему n случайных величин называют n-мерной (многомерной) случайной величиной или случайным вектором .

Многомерная случайная величина есть функция элементарного события w: : каждому элементарному событию w ставится в соответствие n действительных чисел - значения, принятые случайными величинами в результате опыта. Вектор называется реализацией случайного вектора .

Закон распределения вероятностей n-мерной случайной величины задается ее функцией распределения

Функция распределения обладает такими же свойствами, как и функция распределения двух случайных величин . В частности: она принимает значения на отрезке [0, 1],

,

.

Плотность распределения системы n непрерывных случайных величин определяется равенством

.

При и

Вероятность попадания случайной точки в область D из n-мерного пространства выражается n-кратным интегралом

.

Функция распределения выражается через плотность n-кратным интегралом

Необходимым и достаточным условием взаимной независимости n случайных величин является равенство:

,

а для n непрерывных случайных величин

.

Основными числовыми характеристиками многомерной случайной величины являются:

1. n математических ожиданий составляющих , т.е.

2. n дисперсий составляющих , т.е.

,

при этом , .

3. n(n - 1) ковариаций, т.е.

, ,

при этом , .

Ковариации образуют ковариационную матрицу

или