Регрессия. Теорема о нормальной корреляции

При изучении двумерной случайной величины рассматриваются не только числовые характеристики одномерных компонент X и Y, но и числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания, условные дисперсии.

Условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в систему называется ее математическое ожидание, вычисляемое при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (или попала в данный интервал). Обозначается: или и .

Вычисляются эти характеристики по обычным формулам математического ожидания, в которых вместо плотности распределения и вероятностей событий используются условные плотности распределения или условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин

, ,

(6.39)

где и - условные плотности распределения случайных величин X и Y.

Для дискретных случайных величин X и Y условные математические ожидания вычисляются по формулам

, .

(6.40)

где _, .

Условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном X = х, т.е. , называется функцией регрессии или просто регрессией Y на x (или Y по х). Аналогично, - регрессия X на у (или X по у).

Графики этих функций называются соответственно линиями (или кривыми) регрессии Y на х и X на у.

Если обе функции регрессии Y на х и X на у линейны, то говорят, что случайные величины X и Y связанылинейной корреляционной зависимостью.

Теорема 6.4 (Теорема о нормальной корреляции).Если двумерная случайнвя величина распределена по нормальному закону, то случайные величины X и Y связанылинейной корреляционной зависимостью. (Примем теорему без доказательства).

Условный закон распределения является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми формулами:

, .

(6.41)

Можно получить функцию регрессии Х на у:

и .

(6.42)

Пример 6.8. Построить линию регрессии Y на х для двумерной случайной величины , закон распределения которой задан таблицей:

	-1
	0,1	0,15	0,2	0,45
	0,15	0,25	0,15	0,55
	0,25	0,4	0,35

Решение:

Находим условные ряды распределения случайной величины Y при , используя формулы (6.14).

,

,

.

Согласно (6.40) имеем

.

Далее:

,

,

.

Следовательно,

.

Линия регрессии Y на х изображена на рис. 6.6.

Рис.6.6.