Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Следствиями центральной предельной теоремы являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Приведем вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть - число появления события А (число успехов) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью р (не появиться с вероятностью ). Случайную величину можно представить в виде суммы n независимых случайных величин таких, что , если в i-м испытании событие А наступило, и , в противном случае, т.е.

.

Так как , , то

, .

Тогда случайная величина

представляет также сумму n независимых, одинаково распределенных случайных величин. При этом , действительно:

,

Следовательно, на основании центральной предельной теоремы (7.13) случайная величина Zn при большом числе n имеет приближенно нормальное распределение. По свойству нормального закона, записываем

,

- функция Лапласа.

Полагая

, ,

двойное неравенство

можно переписать в эквивалентном виде . Таким образом, получаем

,

т.е. интегральную теорему Муавра-Лапласа.

 

Заметим, что интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

  (7.15)

для схемы Бернулли непосредственно вытекает из центральной предельной теоремы с учетом того, что , , . Тогда , .

Для подсчета сумм биноминальных вероятностей можно воспользоваться приближенной формулой

,   (7.16)

где - функция Лапласа.

 

Пример 7.4. Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов, состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок?

Решение:

Применим формулу (5.16). Так как , , , , то

,

, .

Следовательно, .








Дата добавления: 2017-03-29; просмотров: 262;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.