Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Следствиями центральной предельной теоремы являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Приведем вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Рассмотрим схему Бернулли. Пусть - число появления события А (число успехов) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью р (не появиться с вероятностью ). Случайную величину можно представить в виде суммы n независимых случайных величин таких, что , если в i-м испытании событие А наступило, и , в противном случае, т.е.
.
Так как , , то
, .
Тогда случайная величина
представляет также сумму n независимых, одинаково распределенных случайных величин. При этом , действительно:
,
Следовательно, на основании центральной предельной теоремы (7.13) случайная величина Zn при большом числе n имеет приближенно нормальное распределение. По свойству нормального закона, записываем
,
- функция Лапласа.
Полагая
, ,
двойное неравенство
можно переписать в эквивалентном виде . Таким образом, получаем
,
т.е. интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Заметим, что интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
(7.15) |
для схемы Бернулли непосредственно вытекает из центральной предельной теоремы с учетом того, что , , . Тогда , .
Для подсчета сумм биноминальных вероятностей можно воспользоваться приближенной формулой
, | (7.16) |
где - функция Лапласа.
Пример 7.4. Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов, состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок?
Решение:
Применим формулу (5.16). Так как , , , , то
,
, .
Следовательно, .
Дата добавления: 2017-03-29; просмотров: 266;