Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайной величины и его предельной формой - нормальным законом распределения.

Сформулируем центральную предельную теорему для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение. Эта теорема чаще других используется на практике. В математической статистике выборочные случайные величины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности.

Теорема 7.5. Пусть случайные величины независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин стремится при к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

(7.13)

Из соотношения (7.13) следует, что при достаточно большом n сумма Z_n приближенно распределена по нормальному закону: . Это означает, что сумма приближенно распределена по нормальному закону: . Говорят, что при случайная величина асимптотически нормальна.

Напомним, что:

1. Случайная величина X называется центрированной и нормированной (т.е. стандартной), если MX = 0, a DX = 1.

2. Если случайные величины , независимы, , , то

3. - функция Лапласа, , где - нормированная функция Лапласа.

Формула (7.13) позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. Так, перейдя от случайной величины

к стандартной случайной величине, получим:

Или

(7.14)

Формула (7.14) определяет вероятность того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах. Часто центральную предельную теорему используют, если n>10.

Пример 7.3.Независимые случайные величины распределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения случайной величины , а также вероятность того, что .