Характеристическая функция и ее свойства

Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения о случайной величине, для ее описания можно использовать так называемую характеристическую функцию. С ее помощью, в частности, упрощается задача нахождения распределения суммы независимых случайных величин, нахождения числовых характеристик случайных величин.

Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины обозначается через или просто . Таким образом, по определению

,

где t - параметр, - мнимая единица.

Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x₁, x₂,… с вероятностями , , характеристическая функция определяется формулой

,

(6.43)

для непрерывной случайной величины с плотностью - формулой

.

(6.44)

Заметим, что:

1. Характеристическая функция непрерывной случайной величины есть преобразование Фурье от плотности ее распределения. Плотность выражается через обратным преобразованием Фурье:

.

2. Если случайная величина принимает целочисленные значения 0, 1, 2, ..., то , где . Тогда

.

Свойства характеристической функции:

1. Для всех имеет место неравенство

.

2. Если , где a, b - постоянные, то

.

3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна произведению их характеристических функций

.

4. Если для некоторого k существует начальный момент k-го порядка случайной величины Х, т.е. , то существует k-я производная характеристической функции и ее значение при равно , умноженному на , т.е.

.

Из свойства 4 следует,

.

Отсюда, как частный случай, можно получить:

,

,

.

(6.45)