Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку . Тогда .

Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:

Перейдем к пределу при .

Определение 4.3. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е.

Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (4.1)

где - направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, (4.2)

где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью измененияфункции в точке по направлению вектора .

Градиент

В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

где j - угол между и направлением .

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. - наибольшая скорость изменения функции в точке .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

Пример 4.2. Дана функция . Найти: