Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x)при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

, т.к. g¢(y) ¹ 0 , то , т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Теорема.Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством или .

Пример 6. Найти формулу для производной функции arctg(х).

Решение.Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом: Известно, что По приведенной выше формуле получаем: . Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Пример 7. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .

Решение.Обратная функция: , отсюда .Тогда .