Касательная плоскость и нормаль к плоскости кривой. Угол между двумя кривыми

Если плоская кривая задана функцией , то уравнения касательной и нормали в точке имеют вид:

Уравнение касательной к кривой: .

Уравнение нормали к кривой: .

Рис. 13

Замечание: направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной в этой точке.

Рис.14

Угол между пересекающими кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (Рис. 14) по формуле , где и - угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения , т.е. частные значения в точке производных от y по x из уравнений этих

кривых: , .

Пример 6.Найти уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке:

а) при .

Решение.Из уравнения кривой найдем и производную

.

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: .

б) в точке .

Решение.Из уравнения кривой найдём производную: , т.е. .

Следовательно, .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

в) при .

Решение.Найдём , и . Следовательно .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Пример 7.Найти угол между параболами и .

Решение.Решив совместно уравнения парабол, находим точки их пересечения и . Продифференцируем уравнения парабол: , . Найдём угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А (т.е. значения производных при х=2): , . Следовательно, , . Так же определяется угол между кривыми в точке В: .