Приложения дифференцирования функции одной переменной

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и , то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует т.е. .

Пример 1.Вычислить пределы.

а) .

Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби, удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

= ;

б) .

Решение. .

Замечание.

1. Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

2. Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере, с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример 2.Найти предел .

Решение. = .

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции

Пример 3. Найти предел .

Решение.Здесь , .

Тогда .

Следовательно