В замкнутой области

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной линиями: .

Решение. 1) Строим замкнутую область , ограниченную линиями: .

Û , , , .

Таким образом, получаем четыре стационарные точки, ни одна из которых не принадлежит области .

3) Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков и .

а) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

б) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ и .

Далее .

в) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

г) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной :

.

Находим критические точки: .

Þ . Значит, на границе критических точек нет.

4) Находим значения функции в вершинах области: . Выше были найдены значения функции и , что соответствует значениям функции в точках и . Поэтому находим значения функции в точках и :

;

.

Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

; .

,

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Скалярное поле

Предположим, что в каждой точке некоторой области задано значение скалярной физической величины , т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом называется скалярной функцией точки, записывается это так . Область , в которой определена функция , может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.

Определение 4.1. Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Будем считать, что скалярное поле стационарное, т.е. величина не зависит от времени .

Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например, силовое поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и др.

Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точки равносильно заданию ее координат , и тогда функция можно записать в обычном виде функции трех переменных: .

Рассмотрим точки области , в которых функция имеет постоянное значение , т.е. . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Определение 4.2. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

.

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхности равного потенциала).

Если скалярное поле плоское, т.е. изучается распределение значений величины в какой-то плоской области, то функция зависит от двух переменных, например, и . Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции , т.е. .

В прикладных науках часто употребляются линии уровня для представления изучаемой функции двух независимых переменных. Так, например, рассматривая высоту точки местности над уровнем моря как функцию двух переменных – координат точки, на карты наносят линии уровня этой функции. Они называются в топологии горизонталями. С помощью сети горизонталей удобно следить за изменением высоты местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар (линий одинаковых средних температур и линий равных средних давлений), являющимися линиями уровня температуры и давления как функции координат точки местности.

Пример 4.1. Построить в плоскости линии уровня функции .