Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума).

Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.

Доказательство. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, . Тогда получим функцию , которая является функцией одной переменной. Эта функция имеет экстремум (максимум или минимум) при . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, , т.е. или не существует.

Аналогично можно показать, что или не существует.

,

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Например, функция имеет частные производные , которые обращаются в нуль при . Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом.

Например, функция имеет экстремум в точке , но не имеет в этой точке частных производных.

Геометрический смысл: равенства означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельная плоскости Oxy, т.к. уравнение касательной плоскости есть .

Определение 3.6. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.