Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида .

Так как через точку проходит бесчисленное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку будет, вообще говоря, бесчисленное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности .

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь сформулируем теорему, которую примем без доказательства.

Теорема 3.1. Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

Если уравнение поверхности задано в неявном виде и , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

. (3.1)

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности имеет вид:

. (3.2)

Определение 3.3. Прямая, проведенная через точку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Если уравнение поверхности задано в неявном виде , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:

. (3.3)

Если поверхность задана уравнением , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:

. (3.4)

Пример 3.1. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение. Вычисляем значения частных производных в точке :

,

,

.

Подставляя их в уравнения (3.1) и (3.3), получаем соответственно уравнение касательной плоскости

,

и каноническое уравнение нормали

.

,