Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1º. Уравнение вида (a¹0, b¹0, c¹0) равносильно уравнению , где , .

Пример 40. Решить уравнение.

Решение:

.

Ответ: .

2º. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод подстановки (замены переменной).

Пример 41. Решить уравнение .

Решение: Так как , то уравнение можно переписать следующим образом: , т.е. . Полагая , приходим к квадратному уравнению , откуда , и получаем совокупность двух простейших уравнений . Первое из них имеет решение , а второе решений не имеет.

Ответ: .

Метод замены переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т.е. уравнений вида

(однородное уравнение I порядка),

(однородное уравнение II порядка).

Если a¹0, то при делении обеих частей первого уравнения на , а второго уравнения на получаем алгебраические уравнения, решаемые подстановкой . Если a=0, то во втором уравнении выносится за скобки.

Пример 42. Решить уравнение .

Решение: Разделив уравнение на , получим . Пусть , тогда или:

1) ;

2) .

Ответ: .

Замечание 1. Уравнение вида (d¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка, положив .

Замечание 2. Уравнение вида (c¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка относительно и .

3º. При решении тригонометрических уравнений также часто используют метод разложения на множители.

Пример 43. Решить уравнение .

Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего левую часть уравнения раскладывают на множители:

.

Значит, либо , откуда , либо , откуда .

Ответ: .

Заметим, что для разложения на множители могут применяться различные формулы: формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения в сумму и др.

Пример 44. Решить уравнение .

Решение: Согласно формуле (10.19) заменим произведение тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся формулой (10.15):

.

Ответ: .

Пример 45. Решить уравнение .

Решение: Это уравнение можно привести к квадратному относительно , понизив степень и , но существует более короткий способ.

Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего прибавим к обеим частям уравнения. Получим уравнение равносильное данному:

;

.

Применяя формулы (10.1) и (10.10), получаем: .

Пусть . Тогда ; (не удовлетворяет условию ), . Так как , то ,

.

Ответ: .

Таблица значений тригонометрических функций.

Аргумент   Функция						π		2π
							-1
						-1
					—		—
	—					—		—