Дидактический материал.

Решите уравнение:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ; 27. ;

28. Определите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку .

29. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .

30. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .

Тема №12.

Решение геометрических задач.

Планиметрия.

1º. Произвольный треугольник.

a, b, c – стороны;

α, β, γ – противолежащие им углы;

p – полупериметр;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

S – площадь;

h_a – высота, проведенная к стороне a.

;

(формула Герона);

;

;

(теорема косинусов);

(теорема синусов).

Следует иметь в виду, что:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника;

2) центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;

3) медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2º. Прямоугольный треугольник.

a, b – катеты; c – гипотенуза;

a_c, b_c – проекции катетов на гипотенузу;

;

;

;

(центр описанной окружности находится на середине гипотенузы);

(теорема Пифагора);

; ; ;

.

3º. Равносторонний треугольник.

; ; ; .

4º. Параллелограмм.

a, b – смежные стороны;

α – угол между ними;

d₁ и d₂ – диагонали;

φ – угол между диагоналями;

h_a – высота, проведенная к стороне a;

S – площадь.

;

;

;

(сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон).

5º. Ромб.

;

;

;

.

6º. Прямоугольник.

;

;

.

7º. Квадрат.

;

.

8º. Трапеция.

;

.

9º. Описанный многоугольник.

,

где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

10º. Правильный многоугольник.

Если a_n – сторона правильного n-угольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, то:

.

11º. Окружность, круг.

Если r – радиус, C – длина окружности, S - площадь круга, то:

;

.

Пример 46. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Тогда гипотенуза треугольника равна:

1) 8 2) 12 3) 10 4) 14 5) 16.

Решение.

Введем следующие обозначения:

. Тогда по теореме Пифагора получаем:

, .

По условию задачи: .

1) Из ΔBPC: , . (1)

2) Из ΔAKC: , . (2)

Из (1) и (2) получаем систему алгебраических уравнений:

.

Ответ: 10 (правильный ответ – №3).

Пример 47. В трапеции сторона основания равна 7, высота 5, площадь 25. Тогда другое основание трапеции равно

1) 6 2) 4 3) 2 4) 3 5) 5.

Решение.

На рисунке и DC – основания данной трапеции, – ее высота . По условию задачи площадь трапеции равна .

По формуле получаем уравнение относительно DC:

.

Второе основание трапеции равно 3.

Ответ: 3 (правильный ответ – №4).

Пример 48. Периметр ромба равен 2p см, сумма его диагоналей равна m см. Тогда площадь ромба равна

1) 2) 3) 4) 5)

Решение.

Пусть дан ромб ABCD, – его диагонали, .

По условию задачи , периметр ромба . Требуется вычислить площадь ромба. Площадь ромба вычислим по формуле .

Найдем произведение диагоналей ромба: . Так как сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов всех его сторон, то получаем .

Преобразуем это равенство: , но . Поэтому .

Окончательно, .

Ответ: см² (правильный ответ – №3).