Дидактический материал.

Укажите множество решений неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?

Решите неравенство:

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. .

13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .

Решите неравенство:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Найдите область определения функции:

27. ; 28. .

29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:

и .

Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. [1,5; 5]; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. [2; +∞); 29. (-∞; log₅(5 -5)).

Тема №9.

Логарифмы.

1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию a обозначается символом log_ab. В записи log_ab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом.

Равенство означает, что .

2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при .

Например, .

3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log₁₀. Логарифм по основанию e (e=2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо log_e.

4º. Основные свойства логарифмов:

1) ;

2) ;

3) (логарифм произведения), где ;

4) (логарифм частного), где ;

5) (логарифм степени), где ;

Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула:

6) (формула перехода к другому основанию логарифма).

В частности, .

Пример 29. Найти .

Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени».

.

Пример 30. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов:

.

Пример 31. Вычислить .

Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество:

.

Ответ: 19.

Пример 32. Найти , если и .

Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители:

. Полагая и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии:

;

;

.

Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений:

, решая которую находим , .

Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: .

5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 33. Дано , где .

Найти выражение для x.

Решение: Потенцируя, получим:

, .