Преобразование тригонометрических выражений.
1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или против часовой стрелки (угол поворота отрицателен).
Косинусом угла α называется абсцисса точки М: .
Синусом угла α называется ордината точки М: .
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе: .
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате: .
являются тригонометрическими функциями аргумента α.
2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан.
Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан.
Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: рад.
Из этой формулы следует:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) и т.д.
3º. Свойства тригонометрических функций:
Функции - нечетные функции:
.
Функция - четная: .
Функции - периодические с наименьшим периодом 2π:
.
Функции - периодические с наименьшим периодом π:
.
4º. Основное тригонометрическое тождество.
Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда:
где (10.1)
Из этой формулы следует:
а) ; б) .
5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями:
, (10.2)
, (10.3)
, (10.4)
, (10.5)
. (10.6)
6º. Формулы сложения аргументов:
, (10.7)
, (10.8)
. (10.9)
7º. Формулы двойного аргумента:
, (10.10)
, (10.11)
. (10.12)
8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса:
. (10.13)(10.14)
9º. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение:
, (10.15)
, (10.16)
, (10.17)
. (10.18)
10º. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:
, (10.19)
, (10.20)
. (10.21)
11º. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
При доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). Для этого пользуются следующими формулами:
а) , (10.22)
б) , (10.23)
в) . (10.24)
12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражают через тригонометрические функции угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Аргумент t Функция | ||||||||
sin t | cos α | cos α | sin α | - sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α |
cos t | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
tg t | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α |
ctg t | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α |
Пример 34. Найдите , если .
Решение: . По формуле (10.6) . Так как α находится в 3-ей четверти, то и, следовательно, . Ответ: .
Пример 35. Вычислить значение выражения , если .
Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на . Тогда:
Ответ: 9,25.
Пример 36. Доказать тождество: .
Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим:
.
Пример 37. Вычислить , если .
Решение: Выразив и через по формулам (10.22), (10.23), получим:
.
Ответ: ¼.
Пример 38. Упростить выражение: .
Решение: Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство периодичности функций:
,
,
,
,
.
Получаем:
Далее используем формулы приведения:
.
Ответ: -1.
Пример 39. Найти .
Решение: Воспользуемся формулой приведения и определением котангенса:
.
Поскольку угол находится в 4-ой четверти , то . Получаем:
.
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 188;