Метод неопределённых коэффициентов.

Если правая часть неоднородного уравнения имеет вид

то частное решение существует в виде ,

где это кратность числа в качестве характеристического корня. Если оно не является корнем, то . Тогда домножение происходит на , то есть фактически, не происходит.

Если в правой части нет тригонометрических функций, то всегда может автоматически считаться, что , то есть

= .

Если отсутствует многочлен, а просто есть экспонента, то можем считать, что многочлен просто равен константе 1, то есть формально он всё равно есть, нулевой степени. Тогда в структуре частного решения записывается «произвольный» многочлен 0 степени, то есть константа А.

Для частное решение в виде , если не является характеристическим корнем, либо , если совпадает с каким-то характеристическим корнем кратности .

Покажем на примере того же уравнения, которое только что решали методом Лагранжа.

Пример. Решить уравнение .

Шаг 1. Решается однородное. Характеристическое уравнение . Его корни равны 1 и 2, общее решение однородного .

Шаг 2. Решение неоднородного. Правая часть , число 3 не совпадает ни с каким характеристическим корнем левой части, так как там корни 1 и 2. Поэтому , и по правой части надо записать структуру частного решения: .

Найдём производные до второго порядка от и подставим их в неоднородное уравнение.

.

. Таким образом, частное решение неоднородного:

, а общее решение неоднородного: .