Пункт 1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида , то есть такие, в которых можно функцию разбить на отдельные множители, зависящие только от или только от , называются уравнениями с разделяющимися переменными. К слову, далеко не все уравнения - с разделяющимися переменными. Так, если присутствует множитель , то что бы вы ни выносили за скобку, в скобках всё равно останутся обе переменные, а не одна: = или = .

Пример. Решим уравнение .

Это означает, что надо найти все такие функции, которые равны своей производной. Метод решения: сначала представить в виде . Итак, . Теперь домножим на dx, получили , затем разделим на , и получили .

При таком делении мы неявно предполагаем, что не является тождественно равной 0. Поэтому при дальнейших действиях мы упускаем случай , и его надо проверить отдельно. При этом, фактически является решением, подходит в уравнение , ведь . Это называется «особым решением».

Итак, получилось следующее: и её дифференциал с одной стороны равенства, а переменная и (или) её дифференциал - с другой стороны. Теперь это выглядит так, как будто слева и справа были продифференцированы какие-то две различные функции от двух различных переменных . Рассмотрим их как две независимые функции. Если теперь их проинтегрировать, то слева и справа можно получить две функции, одна от , другая от , а затем выразить через .

.

Естественно, каждый неопределённый интеграл находится с точностью до константы, поэтому там и написали . Но можно перенести одну из констант в другую сторону равенства, и записать единую константу:

, то есть .

Лучше всего константу писать именно там где , чтобы максимально очистить выражение, содержащее , ведь цель - выразить .

. Слева модуль, но и константа по построению является положительной, . Но надо выразить сам , а не его модуль, тогда справа также возможны и отрицательные константы, т.е. общее решение будет записано в виде , где (константу для удобства переобозначили, чтобы записать ответ).

Кстати, особое решение входит сюда как частный случай, при .

Итак, ответ: - общее решение дифф. уравнения .