Аналитическое выравнивание временных рядов, оценка параметров уравнения тренда

Метод обработки временных рядов, целями которого является устранение случайных колебаний и построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени – тренда, называется аналитическим выравниванием временного ряда.

Суть метода аналитического выравнивания состоит в том, чтобы заменить фактические уровни временного ряда на теоретические . Расчет осуществляется по некоторому формализованному уравнению, принятому за математическую модель тренда. Для построения трендов чаще всего применяют такие функции, как:

· линейная: ;

· степенная: ;

· гиперболическая: ;

· экспоненциальная: ;

· полиномы второго и более высоких порядков: .

Расчет параметров тренда производится методом МНК. В качестве зависимой переменной выступают фактические уровни ряда , а независимой переменной является время . Заметим, что для нелинейных трендов необходима процедура линеаризации, аналогичная рассмотренной в разделе 3.

Выбор функции тренда может быть осуществлен несколькими способами. Наиболее простым считается тот, в ходе которого анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) , абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) и цепные коэффициенты роста .

Если примерно одинаковы , то ряд имеет линейный тренд, если же примерно постоянны , то для описания тенденции временного ряда следует выбрать параболу второго порядка, и, если примерно равны , необходимо использовать экспоненциальную или степенную функции.

Пример 1.9 Рассчитаем параметры уравнения тренда по следующим данным:

Таблица 5.2

Темпы роста номинальной месячной заработной платы (за 10 месяцев 1999г., % к уровню декабря 1998г.)

Для выявления тенденции временного ряда рассчитаем цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) , абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) и цепные коэффициенты роста .

Таблица 5.3

Месяц	t
Январь		82,9	-	-	-
Февраль		87,3	4,4	-	1,053
Март		99,4	12,1	7,7	1,139
Апрель		104,8	5,4	-6,7	1,054
Май		107,2	2,4	-3,0	1,023
Июнь		121,6	14,4	12,0	1,134
Июль		118,6	-3,0	-17,4	0,975
Август		114,1	-4,5	-1,5	0,962
Сентябрь		123,0	8,9	13,4	1,078
Октябрь		127,3	3,7	-5,2	1,035

Наибольшей стабильностью отличаются цепные коэффициенты роста. Для описания тенденции временного ряда используем степенной или экспоненциальный тренд. Для того чтобы убедиться в этом, рассчитаем уравнение тренда и коэффициенты детерминации уравнения для наиболее часто применяемых функций, применяя МНК. Получим табл. 5.4. Коэффициенты детерминации рассчитаны по линеаризованным уравнениям регрессии.

Как мы и предполагали, степенной тренд лучше всего описывает тенденцию анализируемого временного ряда, что подтверждается высоким значением коэффициента детерминации. Ñ

Таблица 5.4

Уравнения трендов

Тип тренда	Уравнение
Линейный		0,873
Парабола второго порядка		0,920
Степенной		0,931
Экспоненциальный		0,856
Гиперболический		0,728

Интерпретация параметров тренда существенно зависит от его типа.

Если тренд имеет линейную форму, то a - начальный уровень временного ряда в период времени t=0 и b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Если же ряд имеет, например, экспоненциальный тренд, то a - начальный уровень временного ряда в период времени t=0 и - средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

Трактовка параметров степенного тренда аналогична трактовке параметров экспоненциального тренда.

Пример (продолжение примера 1). Согласно уравнению линейного тренда темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом в 4,72 процентных пункта.

Мы можем заменить фактические уровни временного ряда на теоретические , подставляя значения t в уравнение тренда:

Уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид:

Таким образом, начальный уровень ряда в начальный период времени равен 83,96, а средний цепной коэффициент роста - 1,045. Следовательно, темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 83,96% со средним за месяц цепным коэффициентом роста в 104,5%. Теоретические значения временного ряда рассчитываются как:

Уравнение тренда параболы второго порядка имеет вид:

.

Следовательно, темпы роста заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от начального уровня 72,9% со среднемесячным абсолютным приростом, описываемым зависимостью вида . Теоретические значения уровней ряда могут быть рассчитаны как:

Ñ