Тестирование стационарности временного ряда

Как было отмечено выше, стационарные временные ряды имеют следующие отличительные черты: значения ряда колеблются вокруг постоянного среднего значения с постоянной дисперсией, которая не зависит от времени, АКФ затухает с увеличением лага. При анализе экономических явлений чаще приходится иметь дело с нестационарными временными рядами, которые не имеют постоянного среднего, дисперсия которых зависит от времени, а АКФ затухает очень медленно. Для подбора модели ряда и прогнозирования его значений необходимо уметь распознавать тип временного ряда.

Рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка

y(t)=my(t-1)+e(t).

Ряд y(t) является стационарным рядом, если –1<m<1. Если m=1, то y(t) – нестационарный временной ряд – случайное блуждание со сдвигом: в этом случае считают, что временной ряд y(t) имеет единичный корень.

Вычтем y(t-1) из обеих частей модели: Dy(t)=gy(t-1)+e(t), где g=m-1.

Дики и Фуллер рассмотрели три регрессии:

Dy(t)=gy(t-1)+e(t),

Dy(t)=m₀+gy(t-1)+e(t),

Dy(t)=m₀+gy(t-1)+m₂t+e(t).

Вторая регрессия содержит постоянный элемент m₀, а третья, кроме этого, и линейный временной тренд. Во всех трех регрессиях интересующий параметр g.

Нулевая гипотеза H₀: g=0 против альтернативы H₁: g<0.

Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller) состоит в следующем. Оцениваются методом наименьших квадратов одно из указанных выше уравнений.

Прогнозирование

Рис. 5.11. Подход Бокса-Дженкинса

Рис. 5.12. Процесс выбора ARIMA модели

Получают оценку g, стандартную ошибку и соответствующее значение t – статистики. Сравнивая значение t-статистики с табличным, определяют, принять или отклонить H₀. Критическое значение t-статистики имеет нестандартное распределение и зависит от формы регрессии и объема выборки – см в [5].

Критические значения не изменятся, если указанные выше модели заменить авторегрессионным процессом произвольного порядка:

Dy(t)=gy(t-1)+ +e(t),

Dy(t)=m₀+gy(t-1)+ +e(t),

Dy(t)=m₀+gy(t-1)+m₂t+ +e(t).

Для последних моделей Дики и Фуллер предложили три дополнительные статистики для тестирования обобщенных гипотез о коэффициентах:

f₁: H₀: g=m₀=0.

f₂: H₀: g=m₀=m₂=0.

f₃: H₀: g=m₂=0.

Статистики f_i конструируются как F тест: , i=1,2,3, где RSS_r и RSS_ur – квадраты ошибок короткой и длинной регрессий, g – число исключенных переменных, n – число наблюдений, k – число параметров в длинной регрессии. Большие значения f_i ведут к отклонению нулевой гипотезы. Критические значения статистик вычислены Дики и Фуллером и затабулированы.