Многомерные случайные величины. Понятие условного распределения.

Многие экономические показатели описываются не одной, а двумя или более случайными величинами X, Y, Z, …, W, являясь по сути многомерными СВ. Например, издержки предприятия включают в себе фиксированную и переменную составляющие. Уровень жизни населения подразумевает использование большого числа показателей: среднедушевой доход, минимальная зарплата, минимальная потребительская корзина, продолжительность жизни, наличие товаров и услуг и т.д.

Принято совокупность таких показателей назвать системой случайных величин и обозначить (X, Y, Z, …, W). Свойства системы СВ образуются не только свойствами входящих в систему отдельных СВ, но и их взаимосвязями.

Для простаты изложения ограничимся рассмотрением систем только двух СВ. Такие двумерные СВ (Х, У) удобно рассматривать как случайную точку на плоскости с координатами Х и У.

Законом распределения вероятностейдвумерной СВ называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел ) и их вероятностей ( где ; ). Обычно закон распределения задают в виде таблицы:

Таблица 2.2

		…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например, события , , … , несовместны, поэтому вероятность того, что примет значение , по теореме сложения равна:

(2.52)

В общем случае, для того чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности столбца . Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность .

- Функцией распределения вероятностей системы двух СВназывается вероятность совместного выполнения двух неравенств и :

(2.53)

В геометрической интерпретации это есть вероятность случайного попадания материальной точки одновременно левее, чем абсцисс и ниже чем ордината .

Из определения функции распределения следуют еесвойства:

1) .

2) Функция распределения является неубывающей функцией обоих своих аргументов: при ; при .

3) Имеют место предельные соотношения:

, , , .

4) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей : .

При функция распределения системы становится функцией

распределения составляющей : .

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу:

, .

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами , , , :

- .

Пусть функция распределения вероятностей всюду непрерывна и имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной СВ (двумерной плотностью вероятностей)называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

(2.54)

Геометрически функцию можно истолковать как поверхность в декартовой системе , ее называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения

(2.55)

Произведение (при малых приращениях ) есть вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания случайной точки в произвольная область D равна двойному интегралу по области D от функции :

(2.56)

Геометрически эту вероятность можно истолковать как объем тела – вертикальной колонны, ограниченного сверху поверхностью , основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость , т.е. область D.

Свойства двумерной плотности вероятности:

1. .

2. .