Ниже для удобства аргументы ковариации записаны маленькими буквами.

- ковариация двух СВ характеризует как степень зависимости между ними, так и их рассеяние вокруг «центра тяжести»,т.е точки .

- ковариация имеет размерность (если в метрах, то будет в - ах), что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости случайных величин.

- коэффициент корреляции (Пирсона)двух СВ это отношение их ковариации к произведению их средних квадратических отклонений: (обозначают , )

(2.69)

Корреляционный момент двух независимых СВ и равен нулю.

Коэффициент корреляции двух независимых СВ и равен нулю.

Если , то СВ и называются некоррелированными.

Если , то СВ и называются коррелированными.

Свойства ковариации:

1. , ( ). 2. .

3. Для независимых СВ . 4. .

Правила

1. .

2. , где постоянная величина.

3. , где постоянная величина.

4. , где - константы.

Свойства коэффициента корреляции:

1. . 2. . 3. .

4. , если СВ и независимы (не существует никакая связь).

5. , если между и существует прямая линейная функциональная зависимость, , если между и существует обратная линейная функциональная зависимость.

Заметим, что если и независимые СВ, то и - некоррелированные СВ. Обратное утверждение неверно. Это наглядно проиллюстрировано на рис. 2.7.

Рис. 2.7

В параграфе 2.1 были приведены основные свойства и формулы расчета дисперсии (для независимых СВ). В случае, когда СВ и зависимы, т.е коррелируют друг друга, формулы расчета дисперсии их суммы или разности приобретают вид:

, (2.70)

где по , (см. (2.69)).

Значимость коэффициента корреляции при анализе данных наблюдении рассмотрим в главе 3 (регрессионный анализ) данного пособия.

Пример 2.5.Компания многие годы вложила средства в две отрасли и получала дивиденды (в процентах) от вложений. В результате многолетних наблюдений за инвестициями был построен закон распределения размеров годовых дивидентов

( СВ и ) от вложений в данные отрасли ( см. таблицу 2.5)).

Необходимо определить маргинальные законы распределения каждой из СВ, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно: вкладывать деньги в одну из этих отраслей либо одновременно в обе отрасли в равных пропорциях.

Таблица 2.5

-10
-10	0,05	0,25	0,3	0,6
	0,15	0,20	0,05	0,4
	0,2	0,45	0,35

Решение: условная вероятность определяется по столбцам таблицы, а - по строкам. Например, =

=0,2/0,45=0,444. Предельные (маргинальные) законы распределения СВ и представлены в правом столбце и нижней строке таблицы.

Так как

(например, = 0,3 0,6 0,35 = 0,21 = ), то СВ и не являются независимыми. По построенным маргинальным законам распределений СВ определим числовые характеристики и :

=-10 0,6+20 0,4 = 2; ;

= ;

= = 55,6875;

; .

Ковариацию и коэффициент корреляции найдем по формулам:

= =

= +

+

.

Коэффициент корреляции 0,4 говорит о том, что между СВ и (годовыми дивидендами в процентах) существует не очень сильная отрицательная линейная зависимость.

Риски от вложений можно определить по разбросу значений их дивидентов, т.е по дисперсиям СВ. Дисперсии дивидентов и соответственно равны 216 и 55,6875, следовательно вложения в первую отрасль более рискованно, чем во вторую.

Обозначим размер годовых дивидентов (в процентах) от вложения денег одновременно в обе отрасли в равных пропорциях через Z: .

Мат.ожидание и дисперсия соответственно равны:

;

=

.

Поскольку = 55,6875, то одновременное вложение в обе отрасли в равных пропорциях является наименее рискованным из трех рассмотренных вариантов инвестиций.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите примеры случайных событий в экономике.

2. Что такое относительная частота события, как она связана с вероятностью?

3. Что такое случайная величина (СВ)? Какие виды СВ известны?

4. Приведите примеры дискретных и непрерывных СВ из экономики.

5. Перечислите основные числовые характеристики СВ. Как они вычисляются

6. для дискретных и непрерывных СВ?

7. Что такое функция распределения вероятностей СВ? Что такое плотность распределения ? Приведите их свойства.

8. Каким образом может быть задана СВ.

9. Как рассчитывается вероятность попадания СВ в определенный интервал с помощью функции распределения, с помощью плотности распределения?

10. Выведите основные свойства мат. ожидания и дисперсии, используя их определения.

11. Как связаны между собой СВ, имеющие стандартизированное нормальное распределение, распределения Стьюдента, Хи Квадрат и Фишера?

12. К какому распределению стремятся распределения Стьюдента, Хи Квадрат и Фишера при увеличении числа степеней свободы?

13. Что такое ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляции? Перечислите их свойства.

14. Что такое двумерная (многомерная) СВ, закон ее распределения, условная вероятность и двумерная плотность распределения?

15. Что такое независимость двух СВ, как определяется коррелированность СВ?