Упражнения и задачи. 1.На основе многочисленных наблюдений установлено, что доля покупателей-женщин в данном парфюмерном магазине составляет 70%

1.На основе многочисленных наблюдений установлено, что доля покупателей-женщин в данном парфюмерном магазине составляет 70%. Среди покупателей-мужщин 70% предпочитают парфюмерный товар фирмы А, а среди покупателей-женщин товары этой же фирмы предпочитают 50%. Какова вероятность того, что случайный покупатель предпочтет товар фирмы А?

2. Семь из десяти посетителей кафе заказывают к кофе пирожное. Два человека заказывают кофе. Какова вероятность того, что они закажут: а) два пирожных; б) одно пирожное; в) ни одного пирожного?

3. Брокер может приобрести акции одной из четырех компаний А, В, С, D. Риски прогореть при покупке акций этих компаний соответственно составляют 50%, 40%, 20% и 30%. Брокер решает вложить все деньги в акции одной случайно выбранной компании. Какова вероятность того, что брокер прогорит?

4. Совет директоров компании состоит из 12 человек; 3 из них лоббируют проект А, 5 – проект В, а остальные склонны инвестировать деньги в проект С. Решение об инвестировании будет принимать большинством голосов комиссия, состоящая из 5 выбранных жребием директоров. Какова вероятность принятия решения в пользу проекта В?

5. Исследуется динамика курсов валют А и В по отношению к валюте С. Статистика торгов на валютной бирже свидетельствует, что при возрастании курса валюты В курс валюты А растет в 80% случаев, при снижении курса валюты В курс валюты А растет в 25% случаев, при неизменности курса валюти В курс валюты А растет в 50% случаев. Предполагая, что варианты изменения курса валюты В равновозможны, определить вероятности соответствующих изменений при условии, что на последних торгах курс валюты А вырос.

6. Среди 10000 лотерейных билетов 10% являются выигрышными. Определить:

а) вероятность выигрыша при покупке 5 билетов;

б) количество билетов, которое необходимо приобрести, чтобы выиграть с вероятностью 0,9;

в) что вероятнее: выиграть или не выиграть при покупке 7 билетов?

7. Задан закон распределения дискретной СВ Х:

	b	2b	3b	4b	5b

Определить:

а) значение b;

б) значения ;

в) вероятность .

8. Известно распределение годовой прибыли фирмы:

	-10	-5
	0,05	0,15	0,25	0,30	0,20	0,05

Необходимо определить ожидаемую прибыль, среднее квадратическое

отклонение. Определите вероятность положительной прибыли.

9. СВ - величина ежемесячного спроса на некоторый продукт – задана следующим законом распределения:

	0,05	0,15	0,25	0,30	0,20	0,05

Издержки на производство единицы продукции составляют 5$, продукция продается по фиксированной цене 10$ за единицу. Целью производителя является максимизация ожидаемой прибыли. Какова величина ожидаемой прибыли и ее дисперсии?

10. Проведен маркетинговый анализ количества автомобилей района для определения целесообразности строительства станции техобслуживания.

Обследовано 5000 семей. Из них в 250 автомобили отсутствовали, а в 1500 было по 1 автомобилю, в 2500 – по 2, в 600 – по 3 и в 150 по 4. Вероятность поломки автомобиля равна 0,05. Станция будет рентабельна, если ее ежедневная загрузка составит 5 автомобилей. Целесообразно ли строительство станции в данном районе?

11. СВ имеет плотность вероятности при и при

. Найти вероятность того, что СВ при четырех испытаниях попадет в

интервал от 0 до 1 ровно три раза.

12. Двумерная СВ задана следующим законом распределения:

-10
	0,25	0,10	0,15	0,00
	0,00	0,05	0,30	0,15

а) Определить маргинальные законы распределений СВ и ,

б) Вычислить ожидаемые значения и , а также их дисперсии.

в) Определить условные вероятности и .

г) Являются ли СВ и независимыми?

13. СВ и - годовые дивиденды от вложений в отрасли А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: =16, =9. Коэффициент корреляции = -0,6. Что менее рискованно, вкладывать в обе отрасли в соотношении 30% на 70% или только в отрасль В?

14.Имеются три вида акций А, В и С, каждая стоимостью 10$, дивиденды по акциям независимые случайные величины (СВ) со средним значением 10% и дисперсией 16 . Формируются два портфеля инвестиций: - из 30 акций А и - включает в себя по 10 акций А,В и С.

а) Отличаются ли данные портфели по величинам ожидаемых дивидендов и по риску?

б) Пусть коэффициент корреляции между дивидендами по акциям А и В равен -0,5 , но обе эти величины не коррелируют с дивидендами по акциям С. Как это отразится на ответе на вопрос а)?

в) Если дивиденды по рассматриваемым акциям положительно коррелированны друг с другом, то снизит ли риск вложений покупка различных акций?

г) Если корреляция между акциями А и В является совершенной отрицательной, то что можно ожидать при формировании портфеля по принципу 50% акций А и 50% акций В?

15. Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 1000$ и средним квадратическим отклонением 400$. Обследуется 1000 человек. Какое количество человек будет иметь доход более 1500$? Назовите наиболее вероятное количество.

16.Прибыль в отрасли имеет нормальный закон распределения со средним значением 1 млн$ и средним квадратическим отклонением 0,25 млн$. Что вероятнее, получить прибыль не более чем 0,8 млн$ или в пределах от 1,2 млн$ до 1,5 млн$?