Распределение Стьюдента ( t распределение)

Имеем две СВ, одна из которых распределена по стандартно-нормальному закону ~ , а другая – по закону «хи квадрат» с степенями свободы . Тогда распределением Стьюдента (или - распределением) называется распределение следующей СВ:

, (2.44)

Функция плотности распределения Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) имеет вид:

(2.45)

При - распределение приближается к нормальному, а плотность сходится к плотности распределения стандартной нормальной СВ. Практически уже при

- распределение приближенно нормальное.

График функции плотности вероятностей СВ, имеющей распределение Стьюдента, симметричен относительно оси ординат (рис. 2.5). Кривые плотности распределения Стьюдента и стандартного нормального распределения, с двусторонними критическими границами этих распределений приведены на рис. 2.5. Как видно, двусторонние критические границы распределения Стьюдента шире соответствующих границ стандартно-нормального распределения ( ).

0

Рис. 2.5

Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез (при этом используется таблица критических точек распределения Стьюдента, см. Пр.3).

2.2.5. Распределение Фишера–Снедекора (F-распределение)

Пусть имеем две СВ распределенные по закону «хи квадрат» и со степенями свободы и соответственно. Тогда следующая СВ:

(2.46)

называется СВ с F- распределением (т.е. распределением Фишера) с и степенями свободы (обозначают также через ) . Как видим, F- отношение положительная СВ. При больших и это распределение приближается к нормальному (рис.2.6). Заметим, что (где - СВ, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ) совпадает с F-распределением со степенями свободы 1, - . Числовые характеристики распределения Фишера:

, (2.47)

На графике изображены распределения Фишера для различных степеней свободы.

Рис. 2.6

Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. В таблице Пр.5. приводятся правосторонние критические границы этого распределения для разных значений степеней свободы: .