Нормальное распределение (нормальный закон распределения функции плотности вероятностей случайной величины Х) – распределение Гаусса

Нормальное распределение в теории вероятностей занимает центральное место и используется в очень большом числе реальных приложений теории вероятностей.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

, (2.36)

Этот факт символический записывают так: .Очевидно, что вероятность попадания материальной точки на числовую ось равна единице (достоверное событие), т.е., иными словами, площадь между графиком функций и осью равна единице:

= (2.37)

Здесь использован интеграл Пуассона (2.37)

Рис. 2.2

На рисунке 2.2 приведено несколько кривых нормального распределения плотностей в зависимости от параметров . На графике видно, что параметр - точка максимума плотности (и центр симметрии). При имеем центральные графики, при увеличении график смещается вправо, при уменьшении - влево. При уменьшении , максимум плотности увеличивается, при этом в удаленных от точках значения плотности уменьшаются (поскольку площадь под кривой плотности для любих значений параметров равна единице).

Для выяснения вероятностных смыслов параметров вычислим определенные интегралы:

=

= = (обозначим )

= = = , т.е. .

Аналогично, интегрируя получим .

Следовательно, - это математическое ожидание, а - это дисперсия.

Случайная величина называется центрированной, если ее мат. ожидание равно нулю.

Чтобы центрировать случайную величину Х, надо вычесть из нее ее мат. ожидание.

Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице.

Чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратичное отклонение: .

Центрированная и нормированная случайная величина называется стандартной (принято обозначить буквой или U и символом ).

Чтобы стандартизировать случайную величину, надо вычесть из нее ее мат. ожидание и поделить на среднее квадратичное отклонение: ~ N(0,1)

Для центрированной случайной величины функция распределения плотности вероятностей имеет вид:

(2.38)

Функция - четная, ее значения для приведены в таблице Пр.1.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (на отрезок)

Исследование абсолютно непрерывных случайных величин, предположительно с нормальным законом распределения, обычно сводится к определению вероятности попадания в интервал.

Поскольку интеграл от нормальной плотности не табулирован, то задача сводится к интегралам от стандартной нормальной плотности в форме функций Лапласа (см. (2.8)), для которой табличные значения приведены в Пр. 2.

Пусть случайная величина стандартизирована: , тогда вероятность попадания в интервал (или на отрезок) равна:

=

= (2.39)

В частном случае, если , то получаем вероятность того, что отклонение случайной величины Х от мат. ожидания не превысит величину :

(2.40)

Правило трех сигм

Положив , получим , т.е. вероятность того что абсолютная величина отклонения Х от своего мат. ожидания превысит утроенное среднее квадратичное отклонение , очень мала: . Иными словами, практически достоверно, что все значения нормально распределенной случайной величины находятся в интервале (кроме только 0,27% случаев).

Иногда удобно вместо СВ Х рассматривать ее логарифм. Если ее логарифм подчинена нормальному закону, то говорят – непрерывная СВ Х имеет логарифмически нормальное,или сокращенно – логонормальное распределение.

Пример 2.1 Наблюдениями установлено, что размеры и дивидентов по акциям фирм А и В соответственно являются независимыми нормально распределенными СВ:

~ , ~ . Стоимость каждой акции составляет 100$.

Инвестор намерен приобрести акции на 1000$. Определить:

а) какие законы распределения имеют доходы и от вложений всей суммы в акции только одной из фирм А или В?

б) какой закон распределения имеет доход от покупки акций в пропорции 2:3?

в) изобразить схематически графики плотностей вероятностей вышеуказанных СВ.

г) какова вероятность, что получаемый доход от вложения будет лежать в пределах от 110 до 150$?

Решение: На 1000$ инвестор может приобрести 10 акций. Если приобретает акции только фирмы А (фирмы В), то его доход выражается через СВ ( ). Тогда СВ имеет нормальное распределение с параметрами и , а СВ имеет нормальное распределение с параметрами и ;

т.е. ~ , ~ .

б) акции куплены в пропорции 2:3, т.е. 4 акции фирмы А и 6 акции фирмы В. Тогда доход от этого вложения составит: . Следовательно, тоже является нормально распределенной СВ (как композиция нормальных СВ). При этом ;

, т.е. ~ .

в) графики плотностей вероятностей СВ и схематический изображены на рис. 2.3.

Рис. 2.3

г) =

Многие экономические показатели имеют нормальный или паронормальный (близкий к нормальному, квазинормальный) закон распределения. Например, доход населения, расход населения на питание, объем потребления электроэнергии, прибыль фирм в отрасли и т.д. имеют близкое к нормальному распределение. Нормальное распределение используется при проверке различных гипотез в статистике.