3 страница. График возрастающей функции показан на рисунке 1(a).

График возрастающей функции
показан на рисунке 1(a).

Если из неравенства х₂ > х₁
вытекает нестрогое неравенство f (х₂)
>f(х₁), то функция f(х) называется
неубывающей в интервале (a, b ).
Пример такой функции показан на
рисунке 2(a).

На интервале [ х₀, х₁ ] она сохраняет
постоянное значение С

Определение 2.

Функция f (х) называется убывающей
в интервале (а, b ) если при
возрастании аргумента х в этом
интервале соответствующие
значения функции f(x) убывают, т.е. если

Рис.1 (б)

f(x₂) <f(x₁) при x₂ > x₁.

функции показан на рисунке 2(б). На интервале постоянное значение С.

График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

называется невозрастающей в интервале

отношение

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция
f (х) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Доказательство. Так как функция f(х) убывает в интервале (а, b ), то в
любой точке этого интервала знаки у приращений Δх и Δу различны'. Поэтому

имеет отрицательный знак, а следовательно и производная

или имеет отрицательный знак, или обращается в нуль, так как

как отрицательная величина, может стремиться или к

Значение f(x₀) функции f(x), при
котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным
значением функции f(x) или просто
максимумом.

Определение 3.

Максимумом функции f (х) называется такое значение f(х₀) этой функции,
которое не меньше всех значений функции f (х) в точках х, достаточно

близких к точке х₀ , т.е. в точках х, принадлежащих некоторой достаточно
малой окрестности точки х₀ .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (х₀) и f(х₂) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки В меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке х, справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x₁ меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от х₁ :

f(x₁)<f(x₁+Δx).

На рисунке 4(б) изображена функция f (х), непрерывная в интервале ( a, b ).
В интервале (а, х₀ ] она убывает, на интервале [ х₀, x₁ ] - сохраняет
постоянное значение: f (х₀) = f(x₁) = С, в интервале [ x₁, b ) - возрастает. Во
всех точках, достаточно близких к х₀ (или x₁ ), значения функции f (х)
удовлетворяют нестрогому неравенству

f(x₁) ≤ f(x).

Значение f(х₀) функции f(х), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f(х) или просто
минимумом.

Определение 4.

Минимумом функции f(х) называется такое значение f (х₀) этой функции,
которое не больше всех значений функции f(х) в точках х, достаточно
близких к точке х₀ , т.е. в точках х, принадлежащих некоторой достаточно
малой окрестности точки х₀ .

Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f(х₁) и f(х₃) .

По определению наибольшим значением функции f(х) на интервале [a, b]
является такое значение f (х₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ]
выполняется неравенство f (х₀)≥f (х), а наименьшим значением функции f(х)
на интервале [a, b ] является такое значение f (х₀), для которого для всех
точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f(x₀)<f (х).

Из этих определений следует, что функция может достигать своего
наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и
на его концах а и b. Здесь же максимум и минимум функции f(х) были
определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в
некоторой окрестности точки х₍₎.

Если в точке х₀ функция f(х) достигает максимума или минимума, то
говорят, что функция f(х) в точке х₀ достигает экстремума (или
экстремального значения).

Функция f(х) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ],
причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-
нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f(х) на
интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Рис. 5

Аналогично наименьшее значение функции f (х) на интервале [ a, b ] - это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее
из значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на
рисунке 3, достигает наибольшего значения
f (х) в точке х₂ , наименьшего - в точке x₁
интервала [х₍₎, x₃ ]. На рисунке 5
изображена функция, имеющая

бесконечное число минимумов и
максимумов.

Теорема 3 (необходимый признак
экстремума). Если функция f (х) имеет в
точке x₀ экстремум, то ее производная в
данной точке или равна нулю или не
существует.

Доказательство. Пусть в точке х₀ функция f (х) дифференцируема и
достигает максимума (рисунок 3 и рисунок 4(a)). Это значит, что при
достаточно малом h > 0 как f (х₀ + h) ≤ f (х₀), так и f (x₀ - h) < f (x₀).

Из этих неравенств следует, что

Отсюда

а потому

и в то же время

Аналогично доказывается первое утверждение теоремы 3 и в том случае,
когда функция f(х) достигает в точке х₀ минимума.

Но функция f(х) может иметь экстремумы и в тех точках x₀ в которых ее
производная не существует. Например, функция у = | х | в точке х₀ = 0 не
дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

Рис. 6

Таким образом, необходимым
признаком существования в точке х₀
экстремума функции f (х) является выполнение следующего условия: в точке
x₀ производная f (х) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования
экстремума функции f(х) в точке х₀ : можно привести много примеров
функций, удовлетворяющих этому условию при х = х₀ , но, однако, не
достигающих экстремума при x= х₀.

Например, производная функции y = х³ при х₀ = 0 равна нулю, однако эта
функция при x₀ = 0 не достигает экстремального значения.

Тренинг: решение примеров

Пример Найдите производную функции

Пример Найдите производную функции Решение:

Пример Найдите производную функции Решение:

Решение:

Пример.

Найти производную функции
Решение.

Преобразуем квадратный корень в степень: Данная функция - сложная, используем последовательно формулы: производная степенной функции, производная дроби, производная логарифма. Ответ:

функцию:

Пример.

Вычислить производную функции
Решение.

Данная функция относится к виду показательно - степенной функции

Для нахождения ее производной прологарифмируем данную

Дифференцируя левую и правую часть этого равенства, получаем

Пример

Вычислить производную

Решение.

Ответ:

Пример.

Вычислить производную y^'_x функции, заданной параметрически:

Решение. Ответ:

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции
отрезке [ 1; 3] .

Решение.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать:

1) на концах отрезка (т.е. при х = 1 или х = 3 );

Ответ: наименьшее значение функции.

Пример Найти приближённое приращение функции у = 4х² +5х +21, если х =
10; Δх = 1

Пример При измерении стороны квадрата относительная погрешность

Решение. Воспользуемся формулой приближенных вычислений:

составила 1%. Определите относительную погрешность
измерения площади в этом случае.

Пример

переменными. Полагаем

тогда

Вычислим эти производные при

Подставим полученные значения в формулу приближенных вычислений: Ответ:

Пример.

Найти точки экстремума функции:
Решение.

Найдем критические точки функции. Для этого сначала найдем частные

производные

Решая систему
уравнений

заданная функция экстремума. Находим значения вторых производных в

точке P₁:

Следовательно, в точке P₁ функция z имеет минимум:
Аналогично проводятся исследования для точки

Пример. Вычислить полный дифференциал функции

выполняется равенство F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Из дифференциального исчисления известно, что если две функции f(x) и
F' (х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или
дифференциалы этих функций равны, т.е. если

то

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и F(x) имеют одну и ту же
производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на
постоянную величину, т.е. если

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле у = F(x) + С мы будем
придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные
первообразные функции для функции f(х)

Определение 2: Множество F(x) + С всех первообразных функций для данной
функции f(х) , где С принимает все возможные числовые значения, называется
неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом

С - произвольная постоянная - const.
f(x) называется подинтегральной функцией
f(x)dx - называется подинтегральным выражением
символ ∫ - знак неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных,
но и любую функцию этого множества. Неопределенный интеграл представляет
собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному
выражению, а производная равна подинтегральной функции. Нахождение
первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является
действием, обратным дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таким образом, по определению,

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

3. Неопределенный интеграл от производной функции отличается от самой

функции только на постоянную величину:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.