1 страница. Определение 1. Производной функции f(x) в точке х называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Определение 1. Производной функции f(x) в точке х называется

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению
ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, характеризует
скорость изменения функции. Функция, имеющая конечную производную,
называется дифференцируемой функцией.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.
Из определения следуют основные правила дифференцирования:

1. (const)' = с' ⁼ 0.

Производная любого постоянного числа равна нулю.

Примеры:

• (5)' = 0;

• (-8)' = 0;
• (232)'= 0.

2. (х)' = 1.

Производная аргумента равна 1.

3. (с u)' = с u'.

Постоянное число можно выносить за знак производной.
Пример:

• (5 х)' = 5 х' = 5 • 1=5.

4. (u + v - w + ... + s)' = u' + v' - w' + ... + s'.

Производная алгебраической суммы любого числа слагаемых равна этой же
алгебраической сумме производных слагаемых.
Примеры:

• (Зх - 8)' = (Зх)' - (8)' = 3• 1-0 = 3;

5. Если

Если u = х, то (хn)' = n хn-1.

Примеры:

Примеры:

Производная синуса сложной функции равна произведению производной этой сложной функции на косинус этой функции. Если u = х, то (sin х)' = cos х . Примеры:

Производная степени функции un равна произведению показателя
степени на функцию, в степени на единицу меньше, на производную
самой функции.

Производная косинуса сложной функции равна минус произведению
производной этой сложной функции на синус этой функции.
Если u = х, то (cos х)' = - sin х.

Примеры:

Производная произведения равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый. Примеры:

Пример 1. Найти производную функции у = Зх + 5: Решение:

Пример 2. Доказать, используя лишь определение, что

Вынося в последнем равенстве логарифм за знак предела, мы

воспользовались непрерывностью функции

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

тогда производная функции

Пример а). Найдите производную функции

Воспользуемся формулой

Найдем:

ПРИЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и
частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-
степенных функций, где от переменного зависят как основание
степени, так и ее показатель, - необходимо применять прием
логарифмического дифференцирования.

Этот прием основан на соотношении

где

Решение:

Пример №2. Вычислить

Старшие производные функции одной переменной

характер.

Таким образом,

Решение:

Последняя формула является предположением, основанным на предыдущем
утверждении. Для n = 1,2,3,4 она выполняется. Предположим, что
"угаданная" формула для производной (n-1) -го порядка верна. Покажем,

по x:

Примененный способ доказательства называется методом полной математической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать формулу

• Пример. Посчитаем 2-ю производную из примера № 1,

что тогда она верна и для n-й производной. Пусть

проиллюстрировав применение логарифмического дифференцирования
для нахождения старших производных.

Продифференцируем

При вычислении

использовалась уже найденная в примере № 1

Механический смысл производной

Производная функции у=f(x) в точке x₀ выражает скорость
изменения функции в точке x₀ , то есть скорость протекания
процесса, описанного зависимостью у=f(x).

V - скорость.

Пусть

Первая производная от пути по времени, т.е.

а - ускорение

Первая производная от скорости по времени

времени), т.е.ускорение

И.Ньютоном. Он впервые сформулировал, что с позиции механики
мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть первая
производная от пути по времени, а её мгновенное ускорение есть
первая производная от скорости по времени или вторая производная от
пути по времени.

решение т.е. на 2-й секунде бега спринтер имеет скорость 2,5 м/с.

• Пример . По условию вышеприведенного примера найти
ускорение спринтера в начале бега, т.е. при t₀ = 0.

решение т.е. в начале бега спринтер имел ускорение 2,25 м/с2

В медицине и биологии, например, используя производную, можно
определить быстроту изменения различных параметров системы или
процесса в живом организме.

• Пример. При воздействии внешней среды давление на
поверхность тела с течением времени меняется по закону

Определите с какой скоростью изменяется давление на 10 секунде от начала
процесса.

решение

В момент времени t = 10 с

Ответ: В момент времени t = 10 с давление изменяется со скоростью 59 мм.рт.ст. в секунду.

• В качестве примера можно рассмотреть понятие градиента.
На рисунке представлено распределение скоростей разных слоев
жидкости 1-5 при движении вязкой жидкости между двумя
пластинами, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со
скоростью V_B.

Слой у основания неподвижен. По мере приближения к
верхней пластинке скорость слоев возрастает и
стремится к V_B. При характеристике возникающих сил
трения между слоями используется важный показатель
dV

—, в данном случае характеризующий изменение
dx

скорости на некотором участке в направлении х,

перпендикулярном скорости, отнесённое к длине этого участка. Величина

называется градиентом скорости или скоростью сдвига. В медицине,

при рассмотрении движения крови по сосудам и анализе вязкости крови,

Задача 1: Исходя из определения производной, определите производную
функции f(х) в точке х = 0.

решение

1. По определению производной

Необходимо отметить, что при вычислении предела

2. Вычисляем предел

Задача 2. Определить по известной функции f(х)

решение

Исходя из определения производной, имеем:

конечной величиной. Т.е. заданная функция в точке х = 0 имеет производную

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть в точке

положением секущей будет прямая, касательная к кривой в точке М,
образующая с положительным направлением оси ОХ некоторый угол,
величину которого обозначим через α.

Итак, с позиции геометрии производная функции у в заданной ее точке
М есть тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке М, с
положительным направлением оси ОХ.

Пользуясь геометрическим смыслом производной, решим следующие
задачи: