Признаки сходимости положительных рядов

Определение.Числовой ряд называется положительным, если все его члены неотрицательны, то есть a_n ≥ 0, n N.

Теорема 3.1(общий признак сходимости положительного ряда). Положительный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм этого ряда ограничена сверху.

Доказательство необходимости.Если числовой ряд сходится, то сходится последовательность его частичных сумм . Любая сходящаяся последовательность ограничена. Значит последовательность ограничена сверху.

Доказательство достаточности.Дан положительный числовой ряд , причем последовательность его частичных сумм ограничена сверху. Так как

где a_n ≥ 0, то , n N. Это означает, что последовательность частичных сумм является неубывающей. Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится. Значит, последовательность частичных сумм ряда является сходящейся. Тогда сходится и сам ряд .

Пример.Дан числовой ряд . Так как

, n N,

то последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. Согласно теореме 3.1, ряд сходится.

Определение. Числовой ряд называется мажорантой положительного ряда , если для всех n N.

Первый признак сравнения. Если сходится мажоранта положительного ряда, то сходится и сам ряд. Если положительный ряд расходится, то расходится и любая его мажоранта.

Доказательство. Предположим, что ряд сходится и является мажорантой положительного ряда . Так как положительный ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена сверху, то есть ≤ A, n N.

По условию , n N. Тогда

S_n= a₁ + a₂ + … + a_n ≤ b₁ + b₂+ … + b_n = ≤ A, n N.

Это означает, что последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. В силу общего признака сходимости положительного ряда, этот ряд сходится.

Второе утверждение доказывается методом от противного.

Пример. Исследуем на сходимость числовой ряд . Сначала покажем, что ln n < n при n ≥ 2. Для этого рассмотрим функцию f(x) = x – ln x, где х > 0.

Эта функция непрерывна на множестве x ≥ 1. Ее производная равна , причем при всех x > 1. Значит, функция f(x) = x – ln x является возрастающей на множестве x ≥ 1. Тогда > 0 при n > 1. Отсюда при n ≥ 2 и, следовательно, при n ≥ 2. Положительный ряд расходится, как остаток гармонического ряда . Тогда расходится и его мажоранта .

Второй признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , где b_n> 0, n N. Тогда:

1) если = 0,то из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) если = ∞,то из расходимости ряда следует расходимость ряда ;

3) если существует ≠ 0, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Предположим, что существует предел . Сходящаяся последовательность всегда ограничена. Значит, существует число λ > 0 такое, что ≤ λ , n N. Тогда , n N. Если сходится ряд , то сходится и ряд . Тогда будет сходиться и ряд , так как имеет сходящуюся мажоранту . Первое утверждение доказано.

Если = ∞, то = 0. Рассуждая аналогичным образом и используя второе утверждение первого признака, получим, что из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Наконец, если ≠ 0, то существует ≠ 0. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из сходимости ряда следует сходимость ряда . Аналогичный вывод получаем и для расходящихся рядов. Таким образом, ряды сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Рассмотрим числовой ряд . Ранее было установлено, что ряд сходится. Так как

то сходится и ряд .

Теорема 3.2.(интегральный признак сходимости Коши). Пусть функция f(x)является неотрицательной и невозрастающей на промежутке [1, +∞[. Если

a₁= f (1), a₂= f (2),…, a_n = f (n), …,

то числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. Если x [k,k+1], то f(k+1) ≤ f(x) ≤ f(k). Значит, a_k₊₁≤ f(x) ≤ a_k, где k = 1, 2, …. Тогда

, k = 1, 2, ….

Отсюда

, k = 1,2, …

Предположим, что числовой ряд сходится. Это означает, что последовательность частичных сумм этого ряда ограничена сверху, то есть существует число А такое, что , n N. Рассмотрим функцию F(b) = , где b ≥ 1. Так как по условию функция f(x) ≥ 0на множестве [1,+∞[, то F(b) − неубывающая функция. Значит, если b < N, где N − некоторое фиксированное натуральное число, то

≤ a₁ + a₂ + …+ a_N_{– 1}≤ A.

Таким образом, F(b) ≤ A, где b ≥ 1. Так как неубывающая на множестве b ≥ 1 функция F(b) ограничена сверху на этом множестве, то существует . Значит, интеграл сходится.

Предположим теперь, что сходится несобственный интеграл . Это означает, что функция ограничена сверху, то есть существует число В такое, что для любого b [1,+∞[ . Тогда

= a₁+ ≤ a₁+ B, n N.

Значит, последовательность частичных сумм положительного ряда ограничена сверху. По теореме 3.1 ряд сходится.

Пример. Числовой ряд называется обобщенным гармоническим рядом. При k = 1 мы имеем гармонический ряд . При k ≤ 0 ряд расходится в силу необходимого признака сходимости. Если , то функция f(x) = является неотрицательной и невозрастающей на множестве x ≥ 1, причем