Простейшие свойства сходящихся числовых рядов

1. Если сходятся числовые ряды и , а λ и μ − некоторые числа, то сходится и числовой ряд .

Доказательство.Так как сходятся числовые ряды и , то сходятся последовательности частичных сумм этих рядов. Пусть , . Очевидно, что

Тогда

= = .

Следовательно, ряд сходится, так как сходится последовательность его частичных сумм.

Замечание.Если и − суммы числовых рядов и соответственно, то число является суммой числового ряда .

Определение. Числовой ряд называется остатком числового ряда .

Например, числовой ряд является остатком ряда . Действительно,

2. Если сходится числовой ряд , то сходится и любой остаток этого ряда.

Доказательство.Так как ряд сходится, то существует предел = S. Рассмотрим остаток этого ряда . Тогда последовательность частичных сумм остатка имеет вид:

, , ... , ,.. .

Очевидно, что . Тогда

= = .

Это означает, что остаток сходится.

3. Если сходится некоторый остаток числового ряда , то сходится и сам ряд.

Доказательство. Предположим, что сходится остаток . Это означает, что последовательность частичных сумм остатка

, ,..., ,...

сходится к числу . Так как , а последовательность сходится, то сходится и последовательность . Значит, сходится и последовательность частичных сумм самого ряда , так как лишь конечное число её членов не входит в сходящуюся подпоследовательность .