Понятие сходимости и суммы числового ряда

Пусть дана числовая последовательность

a₁, a₂ ,..., a_n, ...

Определение.Выражение вида

a₁+ a₂ +...+ a_n+... (1.1)

называется числовым рядом. Числа a₁, a₂,..., a_n, ... – это члены числового ряда. Число a_n называется общим членом числового ряда. Числовой ряд (1.1)удобно записывать кратко с помощью символа суммирования . Например

Если дан числовой ряд , то всегда можно рассмотреть последовательность его частичных сумм , где

S₁ = a₁,

S₂ = a₁+ a₂,

S₃ = a₁+ a₂ + a₃ ,

…

S_n = a₁+ a₂ +...+ a_n,

…

Примеры.1.Числовой ряд , a ≠ 0, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Если q ≠ 1, то

S₁= a,

S₂= a + a q = a ,

S₃ = a + a q + a q²= a ,

….

S_n= a + aq + aq² + ...+ aqⁿ^{− 1}= a ,

…

2. Дан числовой ряд . Найдем последовательность его частичных сумм:

S₁ = = 1− ;

S₂ = S₁+ = 1− + = 1− ;

S₃ = S₂ + = 1− + =1− ;

...

S_n = S_n−₁+ = 1− + = 1 − ;

…

Основное определение.Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм .

Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм является расходящейся.

Если числовой ряд сходится, то существует конечный предел . Значение предела называется суммой числового ряда и обозначается через S. Таким образом, согласно определению

= S.

Примеры.1.Геометрическая прогрессия , a ≠ 0, сходится при | q| < 1и имеет сумму .

Доказательство.Так как S_n = a , то

= = = = S,

поскольку при | q| < 1.

2. Числовой ряд сходится и имеет сумму S = 1. Действительно,

= = 1.

3. Числовой ряд называется гармоническим рядом . Покажем, что гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:

...

…

Отсюда следует, что последовательность является неограниченной. Тогда сама последовательность частичных сумм гармонического ряда расходится, так как имеет расходящуюся подпоследовательность. Значит, гармонический ряд расходится.

Основной задачей в теории числовых рядов является выяснение каким является числовой ряд − сходящимся или расходящимся. Поэтому важную роль играют различные признаки сходимости.

Теорема 1.1(необходимый признак сходимости). Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю, то есть = 0.

Доказательство.Предположим, что числовой ряд сходится. Это означает, что сходится последовательность его частичных сумм . Пусть = S. Тогда последовательность также сходится к S. Очевидно, что

Тогда = = − = S − S = 0.

Замечание. Приведенный признак сходимости является необходимым, но недостаточным. Например, гармонический ряд расходится. Однако = 0.

С помощью необходимого признака удобно устанавливать расходимость числовых рядов, так как имеет место следующее следствие теоремы 1.1.

Следствие.Если общий член ряда не стремится к нулю, то есть предел ≠ 0 или не существует, то числовой ряд расходится.

Примеры.1.Числовой ряд расходится, поскольку

= = = 1 ≠ 0.

2. Геометрическая прогрессия , a ≠ 0, расходится при . Действительно, если q = 1, то геометрическая прогрессия имеет вид:

a + a +...+ a +... .

Тогда = a ≠ 0.

Если q = −1, то геометрическая прогрессия имеет вид:

a − a + a − a +... .

Тогда предел общего члена ряда не существует.

Если же , то последовательность является неограниченной. Таким образом, во всех рассмотренных случаях геометрическая прогрессия расходится по необходимому признаку сходимости.