Свойства абсолютно и условно сходящихся числовых рядов

Как известно из арифметики, от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Вопрос: можно ли распространить это правило на числовые ряды?

Определение. Говорят, что числовой ряд получен из ряда перестановкой его членов, если

, , …, , … ,

где − последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается один и только один раз.

Например, числовой ряд

, где

получен из гармонического ряда перестановкой его членов.

Лемма 1. Любая перестановка членов положительного ряда не изменяет его сходимости и не меняет сумму.

Доказательство. Предположим, что положительный числовой ряд сходится, а его сумма равна S. Из сходимости ряда следует, что последовательность его частичных сумм ограничена сверху, т.е. n N. Если ряд получен из исходного ряда перестановкой его членов, то . Следовательно,

, (6.1)

где . Тогда n N. Значит, последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. По теореме 3.1 положительный ряд сходится. В неравенстве (6.1) можно перейти к пределу при . Тогда получим

. (6.2)

Таким образом, при перестановке членов положительного ряда сумма ряда не увеличивается.

Очевидно, что исходный числовой ряд можно получить

перестановкой членов ряда . Тогда

. (6.3).

Из неравенств (6.2) и (6.3) следует, что .

Лемма 2.Дан знакопеременный числовой ряд . Пусть

Тогда справедливы следующие утверждения:

числовой ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда положительные ряды и оба сходятся;
если числовой ряд сходится условно, то положительные ряды и оба расходятся.

Доказательство. Предположим, что числовой ряд сходится абсолютно. Это означает, что сходится ряд . Положительные ряды и оба сходятся, так как и , n N. Если же сходятся положительные ряды и , то сходится и ряд . Значит, будет сходиться и ряд , так как , n N.

Для доказательства второго утверждения предположим, что сходится ряд . Тогда будет сходиться и ряд , так как , n N. Тогда из первого утверждения следует, что ряд сходится абсолютно, что противоречит условию. Значит, ряд является расходящимся. Аналогично устанавливается расходимость ряда .

Теорема 6.1. Любая перестановка членов абсолютно сходящегося числового ряда не изменяет его сходимости и не меняет сумму.

Доказательство. Предположим, что числовой ряд сходится абсолютно. Положим

, .

По лемме 2 положительные ряды и оба сходятся. Тогда сумма S исходного ряда равна: , где . Рассмотрим числовой ряд , полученный перестановкой членов исходного ряда Положим

, .

Очевидно, что ряд получен из ряда перестановкой его членов, а ряд получен перестановкой членов ряда . По лемме 1 ряды и оба сходятся, причём , . По лемме 2 ряд сходится, причем

= = = − = S = .

Теорема 6.2 (теорема Римана). Предположим, что числовой ряд сходится условно. Тогда справедливы следующие утверждения:

Члены ряда можно переставить так, что полученный ряд будет расходиться.
Каково бы ни было число Q, члены ряда можно переставить так, что сумма полученного ряда будет равна Q.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим:

, .

По лемме 2 положительные ряды и оба расходятся. Это означает, что последовательности частичных сумм обоих рядов неограничены сверху. Будем выписывать по порядку неотрицательные члены ряда :

до тех пор пока не окажется, что

≥ 2.

Затем начнём выписывать отрицательные члены ряда :

до тех пор, пока не окажется, что

+ ≤ 1.

После этого снова будем выписывать неотрицательные члены исходного ряда:

до тех пор, пока не окажется, что

+ + ≥ 2,

а потом отрицательные члены и так далее.

Так как частичные суммы больше или равны 2, а все частичные суммы меньше или равны 1, то последовательность частичных сумм ряда является расходящейся. Значит, ряд расходится.