Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях

Теорема 8.1. Последовательность {f_n(x)} сходится на множестве V равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех выполняется неравенство

|f_n(x) – f_m(x)| < ε .

Доказательство необходимости. Если {f_n(x)} f(x), то для любогоε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех одновременно для всех x V выполняется неравенство |f_n(x) – f(x)| < . Тогда при всех m, n ≥ N и всех получим

|f_n(x) – f_m(x)| = |f_n(x) – f(x) + f(x) – f_m(x) | ≤

≤ |f_n(x) – f(x)| + |f_m(x) – f(x)| < + = ε.

Доказательство достаточности. По условию, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех выполняется неравенство

| f_n(x) – f_m(x)| < . (8.1)

Это означает, что при каждом x V числовая последовательность {f_n(x)} является фундаментальной и, следовательно, она сходится. Положим {f_n(x)} = f(x), x V. Из неравенства (8.1) следует, что при m, n ≥ N и любом x V выполняется неравенство

f_m(x) − < f_n(x) < f_m(x) + (8.2)

В неравенстве (8.2) зафиксируем n ≥ N и перейдем к пределу при

m → +∞. Получим

f (x) − ≤ f_n(x) ≤ f (x) + ,

где n ≥ N, x V. Значит, |f_n(x) – f (x)| < < ε, где n ≥ N, x V.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x V выполняется неравенство |f_n(x) – f (x)| < ε. Значит, {f_n(x)} f(x).

Пример. Рассмотрим последовательность {f_n(x)}, где

Покажем, что сходимость {f_n(x)} на отрезке [0,1] не является равномерной. Если последовательность {f_n(x)} сходится на отрезке [0,1] равномерно, то для найдётся номер N такой, что при всех m, n ≥ N и всех выполняется неравенство

|f_n(x) – f_m(x)| . (8.3)

Если m = 2n, где n ≥ N , а x = , то ,

Тогда | f_n(x) – f_m(x)| = | − 1| = , что противоречит неравенству (8.3).

Теорема 8.2. Если {f_n(x)} f(x), а все функции f_n(x), n N, непрерывны на множестве V, то и функция f(x) непрерывна на множестве V.

Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Так как {f_n(x)} f(x), то существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x V выполняется неравенство |f_n(x) – f(x)| < . Рассмотрим произвольную точку x₀ V. По условию, функция f_N(x) непрерывна на множестве V, а, следовательно, и в точке x₀. Это означает, что существует окрестность S_δ(x₀) такая, что для любого выполняется неравенство

|f_N(x) – f_N(x₀)| .

Тогда для любой точки получим

|f (x) – f (x₀)| = |f (x) – f_N(x) + f_N(x) – f_N(x₀) + f_N(x₀) − f (x₀)| ≤

≤ |f (x) – f_N(x)| + | f_N(x) − f_N(x₀)| + | f_N(x₀) − f (x₀)| < + + = ε.

Таким образом для любого ε > 0 существует окрестность S_δ(x₀) такая, что для всех x S_δ(x₀)∩V выполняется неравенство

|f (x) – f (x₀)| < ε. Значит, функция f(x) непрерывна в точке x₀. Теорема доказана.

Пример. .

Все функции f_n(x) = , n N, непрерывны на полуинтервале [0,+∞[, а функция f(x) имеет разрывы. Следовательно, сходимость на полуинтервале [0,+∞[ не является равномерной.

Теорема 8.3. Если {f_n(x)} f(x), а все функции f_n(x), n N, непрерывны на отрезке [a,b], то .

Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Из равномерной сходимости следует, что существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x [a,b] выполняется неравенство . Тогда, при

всех n ≥ N получим

(b − a) = < ε.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство . Это означает, что числовая последовательность является сходящейся и имеет предел , то есть . Теорема доказана.

Пример. Функциональная последовательность 1. Функции f_n(x) = , n N, непрерывны на отрезке . Значит, = .

Теорема 8.4.Дана функциональная последовательность {f_n(x)}, x [a,b]. Предположим, что выполняются следующие условия:

1) функции f_n(x), n N, непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b];

2) {f_n(x)} f(x);

3) последовательность из производных { (x)} сходится на отрезке [a,b] равномерно.

Тогда функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], причём { (x)} (x).

Доказательство.Предположим, что { (x)} φ(x). Тогда по теореме 8.3 для каждого x [a,b]. Так как , а {f_n(x)} f(x) и {f_n(a)} → f(a), то . По теореме о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу (x) = φ(x), где x [a,b]. По теореме 8.2 функция φ(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Значит, функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b]. Теорема доказана.

Пример. Дана функциональная последовательность {f_n(x)}, сходящаяся на интервале ]−1,1[, где

f_n(x) = n N.

Пусть {f_n(x)} = f(x), x ]−1,1[. Найдем функцию f(x), используя теорему 8.4. Все функции f_n(x), n N, непрерывно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём