Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях
Теорема 8.1. Последовательность {fn(x)} сходится на множестве V равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех 
выполняется неравенство
|fn(x) – fm(x)| < ε .
Доказательство необходимости. Если {fn(x)} 
f(x), то для любогоε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех 
одновременно для всех x 
V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| < 
. Тогда при всех m, n ≥ N и всех получим
|fn(x) – fm(x)| = |fn(x) – f(x) + f(x) – fm(x) | ≤
≤ |fn(x) – f(x)| + |fm(x) – f(x)| < + = ε.
Доказательство достаточности. По условию, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех выполняется неравенство
| fn(x) – fm(x)| < . (8.1)
Это означает, что при каждом x 
V числовая последовательность {fn(x)} является фундаментальной и, следовательно, она сходится. Положим 
{fn(x)} = f(x), x V. Из неравенства (8.1) следует, что при m, n ≥ N и любом x V выполняется неравенство
fm(x) − < fn(x) < fm(x) + (8.2)
В неравенстве (8.2) зафиксируем n ≥ N и перейдем к пределу при
m → +∞. Получим
f (x) − ≤ fn(x) ≤ f (x) + ,
где n ≥ N, x V. Значит, |fn(x) – f (x)| < < ε, где n ≥ N, x V.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x V выполняется неравенство |fn(x) – f (x)| < ε. Значит, {fn(x)} f(x).
Пример. Рассмотрим последовательность {fn(x)}, где
.
Покажем, что сходимость {fn(x)} на отрезке [0,1] не является равномерной. Если последовательность {fn(x)} сходится на отрезке [0,1] равномерно, то для 
найдётся номер N такой, что при всех m, n ≥ N и всех 
выполняется неравенство
|fn(x) – fm(x)| 
. (8.3)
Если m = 2n, где n ≥ N , а x = 
, то 
,
Тогда | fn(x) – fm(x)| = | 
− 1| = , что противоречит неравенству (8.3).
Теорема 8.2. Если {fn(x)} f(x), а все функции fn(x), n N, непрерывны на множестве V, то и функция f(x) непрерывна на множестве V.
Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Так как {fn(x)} f(x), то существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| < 
. Рассмотрим произвольную точку x0 V. По условию, функция fN(x) непрерывна на множестве V, а, следовательно, и в точке x0. Это означает, что существует окрестность Sδ(x0) такая, что для любого 
выполняется неравенство
|fN(x) – fN(x0)| 
.
Тогда для любой точки получим
|f (x) – f (x0)| = |f (x) – fN(x) + fN(x) – fN(x0) + fN(x0) − f (x0)| ≤
≤ |f (x) – fN(x)| + | fN(x) − fN(x0)| + | fN(x0) − f (x0)| < + + = ε.
Таким образом для любого ε > 0 существует окрестность Sδ(x0) такая, что для всех x Sδ(x0)∩V выполняется неравенство
|f (x) – f (x0)| < ε. Значит, функция f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Пример. 
.
Все функции fn(x) = 
, n N, непрерывны на полуинтервале [0,+∞[, а функция f(x) имеет разрывы. Следовательно, сходимость на полуинтервале [0,+∞[ не является равномерной.
Теорема 8.3. Если {fn(x)} f(x), а все функции fn(x), n N, непрерывны на отрезке [a,b], то 
.
Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Из равномерной сходимости следует, что существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x [a,b] выполняется неравенство 
. Тогда, при
всех n ≥ N получим
(b − a) = < ε.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство 
. Это означает, что числовая последовательность 
является сходящейся и имеет предел 
, то есть . Теорема доказана.
Пример. Функциональная последовательность 
1. Функции fn(x) = , n N, непрерывны на отрезке 
. Значит, 
= 
.
Теорема 8.4.Дана функциональная последовательность {fn(x)}, x [a,b]. Предположим, что выполняются следующие условия:
1) функции fn(x), n N, непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b];
2) {fn(x)} 
f(x);
3) последовательность из производных { 
(x)} сходится на отрезке [a,b] равномерно.
Тогда функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], причём { (x)} 
(x).
Доказательство.Предположим, что { (x)} φ(x). Тогда по теореме 8.3 
для каждого x [a,b]. Так как 
, а {fn(x)} f(x) и {fn(a)} → f(a), то 
. По теореме о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу (x) = φ(x), где x [a,b]. По теореме 8.2 функция φ(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Значит, функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b]. Теорема доказана.
Пример. Дана функциональная последовательность {fn(x)}, сходящаяся на интервале ]−1,1[, где
fn(x) = 
n N.
Пусть {fn(x)} = f(x), x ]−1,1[. Найдем функцию f(x), используя теорему 8.4. Все функции fn(x), n N, непрерывно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём
(x) = 1 + x + x2 + … + xn−1 = 
при x ≠ 1.
Нетрудно проверить, что { (x)} 
, где 0 < a < 1. Тогда по теореме 8.4
(x) 
, где 
]−1,1[.
Следовательно,
.
Очевидно, что f(0) = 0. Тогда с = 0. Значит, f(x) = − ln(1 − x), где ]−1,1[ .
Задачи.
8.1. Исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:
а) 
, x 
[ 
, + ∞[;
б) 
, x [0 , 1];
в) 
, x ]− ∞ , + ∞[;
г) {arctg nx}, x [1, +∞[;
8.2. Найти:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
8.3. Найти 
, если
а) 
, x ]−1,1[ , n N;
б) 
, x ]− ∞ , + ∞[, n N.
Дата добавления: 2016-07-09; просмотров: 1103;