Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.
1. Функциональный ряд сходится к функции S(x) равномерно на множестве W тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство
|Sn(x) − S(x)| < ε .
2. Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство
|Sn(x) – Sm(x)| < ε.
3. Если функциональные ряды и сходятся на множестве W равномерно, а λ и μ – некоторые числа, то и ряд (λun(x)+μvn(x)) сходится на этом множестве равномерно.
4. Если функциональный ряд сходится на множестве W равномерно, а функция φ(x) ограничена на этом множестве, то и ряд сходится на множестве W равномерно.
Теорема 9.1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно и абсолютно, если │un(x)│≤ an для всех x W и n N, а числовой ряд сходится.
Доказательство. Если числовой ряд сходится, то сходится и последовательность его частичных сумм {Sn}. Значит, последовательность {Sn} является фундаментальной. Тогда, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех
m, n ≥ N выполняется неравенство .
Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда . Если m > n ≥ N, то
|Sm(x) − Sn(x)| = |u1(x)+...+ un(x)+ un+1(x)+...+ um(x) − u1(x) −...− un(x)| =
= |un+1(x) + un+2(x) +...+ um(x)| ≤ | un+1(x)| + | un+2(x)| +...+ | um(x)| ≤
≤ an+1 + an+2 +...+ am = Sm − Sn = |Sm − Sn| < ε.
Аналогично, если n > m ≥ N , то
|Sn(x) − Sm(x)| ≤ Sn − Sm = | Sn − Sm | < ε.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство |Sn(x) – Sm(x)| < ε.
По утверждению 2 функциональный ряд сходится на множестве W равномерно. Теорема доказана.
Примеры.1. Функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на всей числовой прямой, так как для всех x ]−∞, +∞[ и n N, а числовой ряд сходится.
2. Покажем, что функциональный ряд сходится равномерно на любом отрезке [a, b] ]−1,+1[. Положим
c = max{|a|,|b|}.
Тогда для всех x [a,b] выполняется неравенство│x│≤ c. Значит, если x [a,b], то
|(−1)n−1 xn−1| = |x|n−1 ≤ cn−1, n N .
Числовой ряд является сходящимся, так как 0 < c < 1. Тогда по признаку равномерной сходимости Вейерштрасса, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] ]−1,+1[.
Задачи.
9.1. Найти область сходимости функционального ряда:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ; к) .
9.2. Найти область сходимости функционального ряда:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
9.3. На указанном множестве исследовать равномерную сходимость функционального ряда:
а) ; | x | ≤ q <1;
б) ; x [0, 1];
в) ; x [−1, 1];
г) ; x [0, + ∞[ ;
д) ; x [0, + ∞[ ;
е) ; x [0, 1];
ж) , где fn(x) = .
9.4. Исследовать равномерную сходимость функционального ряда, используя признак Вейерштрасса:
а) ; x ]− ∞, + ∞[;
б) ; x ]− 2, + ∞[;
в) ; x [ 0, + ∞[;
г) ; x ]− ∞, + ∞[;
д) ; x ]− ∞, + ∞[;
е) ; x [0, + ∞[;
ж) ; x [ 0, + ∞[.
Дата добавления: 2016-07-09; просмотров: 849;