Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.

1. Функциональный ряд сходится к функции S(x) равномерно на множестве W тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n N одновременно для всех x W выполняется неравенство

|Sn(x) − S(x)| < ε .

2. Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n N одновременно для всех x W выполняется неравенство

|Sn(x) – Sm(x)| < ε.

3. Если функциональные ряды и сходятся на множестве W равномерно, а λ и μ – некоторые числа, то и ряд un(x)+μvn(x)) сходится на этом множестве равномерно.

4. Если функциональный ряд сходится на множестве W равномерно, а функция φ(x) ограничена на этом множестве, то и ряд сходится на множестве W равномерно.

Теорема 9.1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно и абсолютно, если │un(x)│≤ an для всех x W и n N, а числовой ряд сходится.

Доказательство. Если числовой ряд сходится, то сходится и последовательность его частичных сумм {Sn}. Значит, последовательность {Sn} является фундаментальной. Тогда, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех

m, nN выполняется неравенство .

Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда . Если m > n N, то

|Sm(x) − Sn(x)| = |u1(x)+...+ un(x)+ un+1(x)+...+ um(x) − u1(x) −...− un(x)| =

= |un+1(x) + un+2(x) +...+ um(x)| ≤ | un+1(x)| + | un+2(x)| +...+ | um(x)| ≤

an+1 + an+2 +...+ am = SmSn = |SmSn| < ε.

Аналогично, если n > mN , то

|Sn(x) − Sm(x)| ≤ Sn Sm = | SnSm | < ε.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, nN одновременно для всех x W выполняется неравенство |Sn(x) – Sm(x)| < ε.

По утверждению 2 функциональный ряд сходится на множестве W равномерно. Теорема доказана.

Примеры.1. Функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на всей числовой прямой, так как для всех x ]−∞, +∞[ и n N, а числовой ряд сходится.

2. Покажем, что функциональный ряд сходится равномерно на любом отрезке [a, b] ]−1,+1[. Положим

c = max{|a|,|b|}.

Тогда для всех x [a,b] выполняется неравенство│x│≤ c. Значит, если x [a,b], то

|(−1)n−1 xn−1| = |x|n−1cn−1, n N .

Числовой ряд является сходящимся, так как 0 < c < 1. Тогда по признаку равномерной сходимости Вейерштрасса, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] ]−1,+1[.

Задачи.

9.1. Найти область сходимости функционального ряда:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

 

9.2. Найти область сходимости функционального ряда:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

9.3. На указанном множестве исследовать равномерную сходимость функционального ряда:

а) ; | x | ≤ q <1;

б) ; x [0, 1];

в) ; x [−1, 1];

г) ; x [0, + ∞[ ;

д) ; x [0, + ∞[ ;

е) ; x [0, 1];

ж) , где fn(x) = .

9.4. Исследовать равномерную сходимость функционального ряда, используя признак Вейерштрасса:

а) ; x ]− ∞, + ∞[;

б) ; x ]− 2, + ∞[;

в) ; x [ 0, + ∞[;

г) ; x ]− ∞, + ∞[;

д) ; x ]− ∞, + ∞[;

е) ; x [0, + ∞[;

ж) ; x [ 0, + ∞[.

 








Дата добавления: 2016-07-09; просмотров: 849;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.015 сек.