Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.

1. Функциональный ряд сходится к функции S(x) равномерно на множестве W тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство

|S_n(x) − S(x)| < ε .

2. Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство

|S_n(x) – S_m(x)| < ε.

3. Если функциональные ряды и сходятся на множестве W равномерно, а λ и μ – некоторые числа, то и ряд (λu_n(x)+μv_n(x)) сходится на этом множестве равномерно.

4. Если функциональный ряд сходится на множестве W равномерно, а функция φ(x) ограничена на этом множестве, то и ряд сходится на множестве W равномерно.

Теорема 9.1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Функциональный ряд сходится на множестве W равномерно и абсолютно, если │u_n(x)│≤ a_n для всех x W и n N, а числовой ряд сходится.

Доказательство. Если числовой ряд сходится, то сходится и последовательность его частичных сумм {S_n}. Значит, последовательность {S_n} является фундаментальной. Тогда, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех

m, n ≥ N выполняется неравенство .

Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда . Если m > n ≥ N, то

|S_m(x) − S_n(x)| = |u₁(x)+...+ u_n(x)+ u_n₊₁(x)+...+ u_m(x) − u₁(x) −...− u_n(x)| =

= |u_n₊₁(x) + u_n₊₂(x) +...+ u_m(x)| ≤ | u_n₊₁(x)| + | u_n₊₂(x)| +...+ | u_m(x)| ≤

≤ a_n₊₁ + a_n₊₂ +...+ a_m = S_m − S_n = |S_m − S_n| < ε.

Аналогично, если n > m ≥ N , то

|S_n(x) − S_m(x)| ≤ S_n− S_m = | S_n − S_m | < ε.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x W выполняется неравенство |S_n(x) – S_m(x)| < ε.

По утверждению 2 функциональный ряд сходится на множестве W равномерно. Теорема доказана.

Примеры.1. Функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на всей числовой прямой, так как для всех x ]−∞, +∞[ и n N, а числовой ряд сходится.

2. Покажем, что функциональный ряд сходится равномерно на любом отрезке [a, b] ]−1,+1[. Положим

c = max{|a|,|b|}.

Тогда для всех x [a,b] выполняется неравенство│x│≤ c. Значит, если x [a,b], то

|(−1)ⁿ⁻¹xⁿ⁻¹| = |x|ⁿ⁻¹ ≤ cⁿ⁻¹, n N .

Числовой ряд является сходящимся, так как 0 < c < 1. Тогда по признаку равномерной сходимости Вейерштрасса, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] ]−1,+1[.