Простейшие утверждения о равномерной сходимости
1. Если {fn(x)} 
f(x), а множество W 
V, то {fn(x)} 
f(x).
2. Если {fn(x)} f(x) и {φn(x)} φ(x), а λ и μ− некоторые числа, то последовательность
{λ fn(x) + μ φn(x)} λ f(x) + μφ(x).
3. Если последовательность {fn(x)} f(x), а функция φ(x) ограничена на множестве V, то {φ(x) fn(x)} φ(x) f(x).
4. Если {fn(x)} 
f(x), {fn(x)} 
f(x), то {fn(x)} 
f(x).
5. Пусть для каждого n 
Nсуществует число
dn = 
.
Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) равномерно на множестве V тогда и только тогда, когда 
= 0.
Доказательство необходимости.Если {fn(x)} f(x), то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x V выполняется неравенство │fn(x) − f(x)│< 
. Тогда
dn = ≤ < ε.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство dn < ε. Значит, 
= 0.
Доказательство достаточности.Если = 0, то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство dn = 
│fn(x) − f(x)│< ε. Это означает, что при всех n ≥ N одновременно для всех x V выполняется неравенство │fn(x) − f(x)│< ε. Значит, {fn(x)} f(x).
Пример.Рассмотрим функциональную последовательность {xn – x2 n}, где 
[0,1]. Очевидно, что {xn – x2n} 
φ(x) = 0. Выясним, является ли эта сходимость равномерной. Функция φn(x) = xn – x2n непрерывна на отрезке [0,1] и, следовательно, достигает на этом отрезке своей точной верхней грани. Найдем
dn = 
|φn(x) – 0| = 
(φn(x)).
Поскольку
= nxn – 1 – 2nx2n – 1 = nxn – 1(1 – 2xn ),
то = 0 
x1 = 0 или x2 = 
. Так какφn(0) = 0, φn(1) = 0, 
, то dn = (φn(x)) = 
= 
. Поскольку = ≠ 0, то сходимость {φn(x)} 
φ (x) = 0 не является равномерной.
Задачи.
7.1. Найти 
{fn(x)}, если:
а) fn(x) = 
, [0, +∞[ ; б) fn(x) = 1 – x2 n , [–1, 1];
в) fn(x) = 
г) fn(x) = 
, x 
] − ∞ , + ∞[ ;
д) fn(x) = 
, x ] − ∞ , + ∞[;
е) fn(x) = 
, x ]0 , + ∞[ ;
ж) fn(x) = 
, x ]− ∞ , + ∞[ .
7.2. Исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:
а) {x2n}, x [0 , 
] ; б) {x2n}, x [0 , 1];
в) 
, x [0 , ]; г) , x [– , ];
д) 
, x ]− ∞ , + ∞[; е) 
, x [0 , 1];
ж) 
, x ]−∞,+∞[; з) 
, x [0,+ ∞[;
7.3. Исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:
а) {xn – xn+1}, x [0 , 1]; б) {arctg nx}, x [0 ,+ ∞[;
в) 
, x [0 , + ∞[; г) 
, x [0 ,+ ∞[;
д) 
, x [1, 10];
е) { fn(x)}, где fn(x) = 
.
7.4. Доказать, что {fn(x)} 
f(x),если {fn(x)} f(x) и {fn(x) f(x).
7.5. Доказать, что {λ fn(x) + μφn(x)} λ f(x) + μφ(x), если
{fn(x)} f(x) и 
φ(x).
7.6. Доказать, что 
φ(x)∙f(x), если {fn(x)} f(x), а функция φ(x) ограничена на множестве V.
7.7. Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)} сходится на множестве V, если:
а) fn(x) = x + 
+…+ 
, n N; V = ]−1, 1[;
б) fn(x) = x – + 
– 
…+(–1)n−1 , n N; V = ]−1, 1[;
в) fn(x) = x + 
+ 
+…+ 
, n N; V = ]−1, 1[.
Дата добавления: 2016-07-09; просмотров: 988;