Предельные признаки сходимости Даламбера и Коши

Теорема 5.1(признак сходимости Даламбера). Пусть дан числовой ряд Предположим, что .

Если d < 1, то ряд сходится абсолютно. Если d > 1, то этот ряд расходится.

Доказательство. Пусть d < 1. Тогда найдется число ε > 0 такое, что q = d + ε < 1. Так как , то для ε > 0 существует номер N такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство

. Отсюда при всех n ≥ N. Тогда , где n ≥ N . Значит,

................................

Числовой ряд

сходится, так как является геометрической прогрессией со знаменателем q , где 0 < q < 1. Ряд

сходится, так как имеет сходящуюся мажоранту. Тогда сходится и ряд из модулей

так как сходится его остаток. Согласно теореме 4.1, исходный числовой ряд сходится, причем абсолютно.

Пусть d > 1. Тогда найдется ε > 0 такое, что d − ε = q > 1. По условию . Тогда для ε > 0 существует номер N такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство < ε. Отсюда при всех n ≥ N. Тогда , где n ≥ N. Значит,

................................

Так как q > 1, то последовательность {с_n} является неограниченной. Значит, исходный числовой ряд расходится по необходимому признаку сходимости.

Замечание.Если в условиях теоремы 5.1. , то исходный ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряд расходится, а ряд сходится. Однако

Пример. Рассмотрим числовой ряд . Так как

то данный ряд сходится абсолютно по признаку Даламбера.

Теорема 5.2(предельный признак Коши). Пусть дан числовой ряд Предположим, что . Если k < 1, то ряд сходится абсолютно. Если k > 1, то ряд расходится.

Доказательство.Пусть k < 1. Тогда существует число ε > 0 такое, что k + ε = q < 1. Так как , то для ε > 0 найдется номер N такой, что < ε при всех n N. Отсюда

< k + ε = q при всех n ≥ N. Значит,

………....

Отсюда следует, что ряд сходится, так как имеет сходящуюся мажоранту , где 0 < q < 1. Тогда будет сходиться и ряд . По теореме 4.1, исходный числовой ряд сходится, причем абсолютно.

Пусть k > 1. Тогда найдется ε > 0 такое, что k − ε = q > 1. Так как = k, то для числа ε > 0 существует номер N такой, что < ε при всех n ≥ N. Тогда > k − ε = q при всех n ≥ N. Отсюда