Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Функциональный ряд вида

а₀ + а₁(x − c) + а₂(x − c)² + …+ а_n (x − c)ⁿ + …

называется степенным рядом. Числа

а₀, а₁, а₂, …, а_n , …

называются коэффициентами степенного ряда, а число c – центром степенного ряда.

Степенной ряд с центром в точке c можно записать кратко:

Если c = 0, то степенной ряд с центром в нуле имеет вид:

а₀ + а₁x + а₂x² + …+ а_n xⁿ + …, или .

Очевидно, что степенной ряд всегда сходится при x = c. Если степенной ряд сходится только при x = c, то он называется всюду расходящимся. Если же степенной ряд сходится на всей числовой прямой, то его называют всюду сходящимся.

Теорема 11.1(теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при x = x ₁ ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно при всех│x│<│x₁│.Если степенной ряд расходится при x = x₂, то он расходится при всех │x│>│x ₂│.

Доказательство. Предположим, что степенной ряд сходится при x = x₁ ≠ 0. Это означает, что сходится числовой ряд . В силу необходимого признака сходимости числового ряда = 0. Значит, существует число М > 0 такое, что

≤ M, n N.

Если│x│<│x₁│,то

, n N.

Ряд сходится, так как является геометрической прогрессией со знаменателем q = < 1. Тогда ряд сходится при всех│x│<│x₁│, так как имеет сходящуюся мажоранту . Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при всех │x│<│x₁│.

Предположим, что степенной ряд расходится при x = x₂, но сходится при x = x₃, где │x₃│>│x₂│(см. рис. 11.1). Из уже доказанного следует, что степенной ряд должен сходиться на интервале ]−│x₃│,│x₃│[, что противоречит условию, поскольку

x₂ ]−│x₃│, │x₃│[.

сходимость

Рис. 11.1.

Следствие 1. Если степенной ряд не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно при всех│x│< R и расходится при всех│x│> R .

Доказательство. По условию существуют точки: x₁ ≠ 0, в которой ряд сходится и x₂, в которой ряд расходится. Если Ω − область сходимости степенного ряда , то по теореме Абеля имеем ]−│x₁│, │x₁│[ Ω и Ω ] −│x₂│, │x₂│[ (см. рис. 11.2).

расходимость сходимость расходимость

Рис.11.2.

Так как числовое множество Ω ограничено сверху, то существует число R = Sup Ω. Очевидно, что R > 0.

Покажем, что степенной ряд расходится при всех │x│> R и сходится абсолютно при всех│x│< R .

Если степенной ряд сходится при x = y, где │y│> R, то по теореме Абеля ]−│y│, │y│[ Ω. Тогда Sup Ω ≥ │y│> R. Противоречие. Следовательно, степенной ряд расходится при всех│x│> R.

Если же ряд расходится при x = z, где│z│< R, то

Ω ] −│z│, │z│[ . Тогда R = Sup Ω ≤ │z│< R. Из полученного противоречия (R < R) следует, что степенной ряд сходится при всех│x│< R, причем абсолютно.

Следствие 2. Если степенной ряд не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число

R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно при всех│x − c │< R и расходится при всех│x − c │> R.

Доказательство. Положим z = x − c. Тогда степенной ряд примет вид: . По первому следствию, найдется число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно при всех│z│< R и расходится при всех │z│> R. Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при │x − c │< R и расходится при │x − c │> R.

Определение.Число R > 0 такое, что ряд сходится абсолютно при│x − c│< R и расходится при│x − c│> R, называется радиусом сходимости этого ряда.

Интервал ]c − R, c + R[ называется интервалом сходимости степенного ряда .

Замечание. Будем считать, что радиус сходимости всюду сходящегося ряда равен + ∞, а всюду расходящегося 0.

Чтобы найти область сходимости Ω степенного ряда , необходимо вначале определить радиус сходимости этого ряда R. Если R = 0, то область сходимости ряда Ω = {c}.

Если R = +∞, то Ω = ]− ∞, + ∞[ . Если же 0 < R < + ∞, то интервал сходимости ряда ]c−R,c+R[ Ω и степенной ряд расходится при всех│x − c│> R. Для отыскания области сходимости Ω степенного ряда достаточно выяснить сходится или расходится ряд при x = c − R и x = c + R.

Примеры. 1.Рассмотрим степенной ряд . Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламбера:

Так как = 0 < 1 при любом x ]− ∞, + ∞[, то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Следовательно, R = +∞, Ω = ]− ∞, + ∞[ .

2. Дан степенной ряд . Очевидно, что x = 0 Ω.

При x ≠ 0 получим

= = | x | (n + 1) = ∞.

Тогда по признаку Даламбера степенной ряд расходится при всех x ≠ 0. Ряд является всюду расходящимся, его радиус сходимости R = 0, область сходимости Ω = {0}.

3. Дан степенной ряд . Рассмотрим

= = |x −1|∙ = |x − 1|.

Тогда по признаку Даламбера степенной ряд сходится абсолютно, если │x −1│< 1 и расходится при │x − 1│> 1. Следовательно, радиус сходимости ряда R = 1, а интервал сходимости ]0, 2[ . Если x = 2, то мы получим расходящийся числовой ряд , а при x = 0 ряд имеет вид: . Этот числовой ряд сходится условно в силу теоремы Лейбница. Следовательно, область сходимости степенного ряда − полуинтервал Ω = [0, 2[.