Приближенные вычисления с помощью рядов

Функциональные ряды используются для приближенных вычислений. В частности, с помощью рядов можно:

· находить значения функций;

· вычислять интегралы;

· решать дифференциальные уравнения.

1.Приближенные вычисления значений функций

Чтобы вычислить значение функции f (x) в точке x = x^*, можно поступить следующим образом:

· выбрать точку x₀ вблизи точки x^*;

· разложить функцию f (x) в ряд по степеням (x − x₀) и найти область сходимости ряда;

· если точка x^* попадёт в область сходимости ряда, то положить

f (x*) ≈ f (x₀) + + ... + . (16.1)

Замечание. Количество слагаемых в равенстве (16.1) необходимо выбрать так, чтобы обеспечить требуемую точность δ, т.е. должно выполняться следующее условие

< δ.

Пример.Вычислим ln3 с точностью до 0,001. Заметим, что ln3 = и разложим функцию f (x) = в ряд по степеням x. Получим

= , x ]−1,1[

(см. пример 2, разд. 15). Тогда

ln3 = .

Следовательно,

ln3 ≈

с точностью до 0,001, если R_{N +1} = < 0,001.

Остаток числового ряда R_{N +1} можно оценить сверху следующим образом:

R_{N +1} =

.

Следовательно, при N = 4 получим:

R₅ ≤ = < 0,001.

Тогда, с точностью до 0,001

ln3 ≈ 1 + + + = 1,098065

(точное значение: ln3 = 1,098612).

2.Приближенные вычисления интегралов

Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию f (x) в ряд по степеням (x − x₀):

f (x) = (16.2)

и найдем область сходимости ряда (16.2). Если z принадлежит области сходимости ряда, то ряд можно проинтегрировать почленно на отрезке [x₀, z]. Получим

= .

Тогда

≈

с требуемой точностью δ, если R_{N +1} = < δ.

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл

.

Так как e^x = , x ]−∞, +∞[ , то

= , x ]−∞, +∞[ .

Следовательно,

.

Числовой ряд удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Следовательно,

= < a_{N +1} = .

При N = 4 получим

< < 0,001.

Тогда, с точностью до 0,001

≈ 1 − + − + = 0,74749.

3.Решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

= f (x, y), (16.3)

где y = y (x) − неизвестная функция, а − её производная.

Функция φ(x) является решением дифференциального уравнения (16.3) на интервале ]a, b[, если выполняются следующие условия: функция φ(x) дифференцируема на интервале ]a, b[; для любого x ]a, b[ имеет место равенство:

(x) = f (x, φ(x)).

Часто встречается следующая задача: найти решение дифференциального уравнения

= f (x, y), (16.4)

удовлетворяющее начальному условию:

y (x₀) = y₀. (16.5)

Предположим, что функция f (x,y) дифференцируема сколь угодно много раз в точке (x₀,y₀), а функция φ(x) является решением задачи (16.4)-(16.5). Тогда

(x) = f(x, φ(x)),

(x) = (x, φ(x)) + (x, φ(x))∙ (x);

(x) = (x,φ(x)) + (x,φ(x))∙ (x) +

+ (x,φ(x))∙ (x) + (x, φ(x))∙( (x))² + (x, φ(x))∙ (x) ;

Аналогично, можно найти φ ⁽⁴⁾(x), φ ⁽⁵⁾(x), ... .

По условию, φ(x₀) = y₀. Тогда

(x₀) = f(x₀, φ(x₀)) = f(x₀, y₀);

(x₀) = (x₀, y₀) + (x₀, y₀)∙ (x₀);

(x₀) = (x₀, y₀) + (x₀, y₀)∙ (x₀) + (x₀,y₀)∙ (x₀) +

+ (x₀, y₀)∙( (x))² + (x₀, y₀)∙ (x₀) ,

……..

Если степенной ряд

сходится в некоторой окрестности S_δ(x₀), то функция

y =

является приближенным решением задачи (16.4) - (16.5).

Пример. Найдем решение дифференциального уравнения

= y + x²,

удовлетворяющее начальному условию:

y(0) = 1.

По условию, = y + x². Тогда

Значит, (0) = (0) = 1, .

Степенной ряд

1 + x + x² + x³ +…+ xⁿ +…

сходится на всей числовой прямой. Значит, искомое решение имеет вид:

y = 1 + x + + , где x ]−∞, +∞[ .

Замечание.

Так как , x ]−∞, +∞[ , то = e^x – 1 − x − .

Тогда решение задачи можно записать в виде

y = 1 + x + + 3(e^x –1 − x − ) = 3e^x – 2 – 2x − x².

Тогда y(0) = 1; = 3e^x – 2 – 2x; y + x² = 3e^x – 2 – 2x. Следовательно, функция y = 3e^x – 2 – 2x − x² действительно является решением данной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барбаумов В. Е., Андреянов П. А., Смагина О. К.. N-мерное пространство. Функции. Экстремумы. М.: Изд-во Рос. экон. акад., 1992.

2. Барбаумов В. Е., Попова Н.В. Математический анализ.Интеграл Римана. М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2007.

3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ ∙ Астрель, 2004.

4. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Математический анализ. М.: Наука, 1984.

5. Рождественский Б. Л. Лекции по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.