Доказательство. Докажем равенство 5). Известно, что

= ; t ]−1, 1[ .

Это равенство можно проинтегрировать почленно на отрезке

[0, x], где x ]−1, 1[ :

.

Тогда

, x ]−1, 1[ .

Областью сходимости ряда является полуинтервал

]−1, 1]. Следовательно,

= S(x), x ]−1, 1] ,

причем функция S(x) непрерывна на полуинтервале ]−1, 1]. Так как S(x) = ln(1 + x), x ]−1, 1[, то

, x ]−1, 1] .

Докажем равенство7). Степенной ряд

сходится на интервале ]−1, 1[, так как

= = .

Тогда

1 + = S(x), x ]−1, 1[. (15.1)

Дифференцируя равенство (15.1) почленно, получим

α + + + … + +

+ +… = (x), x ]−1,1[. (15.2)

Тогда αx + + +

… + +

+ + … = x (x), (15.3)

где x ]−1, 1[. Сложив равенства (15.2) и (15.3), получим

α + + + … + + + + + … = (x)(1+x).

Тогда

α + + + … + +…

… = (x)(1+x).

Следовательно,

α · S(x) = (x)(1 + x), x ]−1, 1[.

Если f (x) = S (x)(1+x)^−α, то

(x) = (x)(1+x)^−α − α S (x)(1+x)^−α−1 =

= (x)(1+x)^−α − (x)(1+x)(1+x)^−α−1 = 0, x ]−1, 1[.

Тогда f (x) = c, x ]−1, 1[. Значит, S(x) = c(1 + x)^α, x ]−1, 1[. Из равенства (15.1) следует, что S(0) = 1. Тогда c = 1. Следовательно

S(x) = (1 + x)^α, x ]−1, 1[.

Замечание.Соотношения 1) – 7), приведенные в теореме 15.1, широко используются для разложения различных функций в степенные ряды.

Примеры.1. Чтобы разложить функцию f (x) = в ряд по степеням x, рассмотрим равенство

, t ]−∞, +∞[ .

Положим t = − x². Тогда

, x ]−∞, +∞[ .

2.Рассмотрим функцию f (x) = . Заметим, что

= ;

= .

Тогда при x ]−1, 1[ получим:

f (x) = = − = = .

3.Рассмотрим разложение

(1+ t)^α = 1 + ]−1,1[.

Пусть α = , тогда

= 1 + t +

+

Таким образом,

= 1+ + ]−1,1[ .

Следовательно,

= 1 + + ]−1,1[ .

4. Разложим функцию f (x) = по степеням x. Рассмотрим равенство

sin t = , t ]−∞, +∞[ .

Если t ≠ 0, то

= .

Следовательно, = φ(t), t ]−∞, +∞[ ,

где

Тогда

f (x) = = =

= , x ]−∞, +∞[ .

Задачи.

15.1. Разложить функцию f (x) в ряд по степеням x, если:

а) f (x) = ; б) f (x) = ;

в) f (x) = ; г) f (x) = ;

д) f (x) = ; е) f (x) = ;

ж) f (x) = arctg ; з) f (x) = .

15.2. Разложить функцию f (x) в ряд по степеням x, если:

а) f (x) = ; б) f (x) = ;

в) f (x) = ; г) f (x) = .

15.3. Разложить функцию f (x) в ряд по степеням (x − x₀), если:

а) f (x) = lnx, x₀ = 1; б) f (x) = , x₀ = 1;

в) f (x) = , x₀ = −1; г) f (x) = , x₀ = 4;

д) f (x) = , x₀ = ; е) f (x) = , x₀ = 1.