Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1)Если уравнение имеет вид (1), тот производную заменяют на отношение дифференциалов: .

2)Домножением на приводим уравнение к виду: .

Замечание: если уравнение имеет вид (2), то просто второе слагаемое переносим в правую часть.

3)С помощью деления или умножения на соответствующие функции собираем все функции, зависящие от х в той части, в которой находится , а все функции, зависящие от у там, где находится .

(1) (2)

Переменные х и у оказались разделенными знаком равенства (отсюда название уравнения).

Раз дифференциалы, находящиеся в левой и правой части уравнения одинаковы, то одинаковы будут и неопределенные интегралы от левой и правой части.

4)(1) (2) .

5)Вычисляя интегралы получаем общий интеграл уравнения: .

Пример: найти общее решение дифференциального уравнения, найти частное решение по начальным данным, построить интегральную кривую, соответствующую частному решению.

1)

2) подставим в общее решение начальное условие

подставим найденное значение произвольной постоянной и получим частное решение:

.

3)

Замечание: в алгоритме решения при переходе от пункта 2 к пункту 3 выполнялось деление на . Если при некотором значении y = b функция , то в этой точке деление выполнять нельзя и легко видеть, что y = b является решением дифференциального уравнения.

Аналогичное замечание можно сделать и для того случая, когда уравнение представлено в виде (2).

Замечание: уравнения с разделяющимися переменными наиболее простые и одновременно важные среди дифференциальных уравнений первого порядка, поскольку к такому виду сводятся многие другие дифференциальные уравнения.

Пример: уравнение вида сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:

Пример:








Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 4555;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.