Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение:линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка будем называть уравнение вида: , где - непрерывные функции.
Определение:функции будем называть линейно зависимыми, если существуют коэффициенты , не все равные нулю, такие, что: .
Определение:функции называются линейно независимыми, если выполнение равенства возможно лишь в случае .
Замечание:эти определения линейной зависимости и линейной независимости функций естественным образом обобщаются на произвольное число функций.
Если функции линейно зависимы, то одну из них можно выразить через другую, а именно , и наоборот.
Пример:покажем, что функции линейно независимы, если .
Пусть , и при этом выполнено равенство:
Это равенство никогда не может быть тождественно выполнено, поскольку в левой части постоянная величина, а в правой части, в силу , находится функция, экспоненциально зависящая от переменной х.
Теорема:если - это два линейно независимые решения уравнения , то общее решение этого дифференциального уравнения может быть представлено в виде: .
Покажем, что является решением дифференциального уравнения:
Выражения в скобках равны нулю, поскольку - это решения исходного уравнения, следовательно сумма равна нулю. А поскольку решение содержит две произвольные постоянные - это решение является общим.
Замечание:можно доказать также, что у дифференциального уравнения любое решение имеет вид .
Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 692;