Метод вариации произвольной постоянной.
В этом методе сначала решается соответствующее однородное линейное уравнение: . Это уравнение с разделяющимися переменным, которое может быть записано в виде и проинтегрировано.
После интегрирования получим:
Под интегралом подразумевают любую первообразную.
На втором этапе решения считают, что с может зависеть от х. Отсюда происходит название: вариация произвольной постоянной. И решение уравнения ищут в виде: .
Подставим это значение у в дифференциальное уравнение:
.
Второе и третье слагаемое в сумме равны нулю, т.к. - это решение однородного дифференциального уравнения .
Для функции с получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: , решая которое находим функцию с, затем подставляем найденное с в выражение и получаем общее решение дифференциального уравнения.
Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения: .
1. найдем решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения:
.
2. делаем произвольную постоянную зависимой от х, т.е. , и подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Подставляем найденное в проект общего решения ( ) и получим: .
Метод Бернулли.
В этом методе решение уравнения ищут в виде произведения двух функций .
Суть метода в том, что одна из этих функций подбирается таким образом, чтобы для второй функции получалось уравнение с разделяющимися переменными.
.
Функция Uвыбирается так, чтобы подчеркнутые слагаемые в сумме давали ноль. Чтобы найти такую функцию Uдостаточно решить уравнение: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию U(x). Произвольную постоянную можно взять любую.
Замечание:фактически для функции Uрешается соответствующее однородное уравнение.
Далее, в оставшуюся часть уравнения (*), подставляют найденную функцию U. . Это уравнение с разделяющимися переменными для переменной V. Решая его находим V(x), а затем, перемножая UV, находим у.
Пример:решим тот же пример методом Бернулли.
Найти общее решение дифференциального уравнения: .
Ищем решение в виде ; .
Подставляем в дифференциальное уравнение: .
1. выбираем Uтак, чтобы скобка обратилась в ноль, т.е.
. После интегрирования получим:
; пусть с = 1 .
2. подставим Uв уравнение (1):
3. перемножаем найденные Uи V:
.
Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 889;