Аффинная классификация кривых второго порядка.
Теорема 5.5. Любая кривая второго порядка аффинно эквивалентна одной из 9 кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые аффинно не эквивалентны между собой.
Название кривой | Каноническое уравнение кривой | Расширенная матрица | rgA | S(A) | ||
Эллипс | diag(1,1,-1) | |||||
Мнимый эллипс | diag(1, 1, 1) | |||||
Гипербола | diag(–1, 1, –1) | |||||
Пара пересекающихся мнимых прямых | diag(0, 1, 1) | |||||
Пара пересекающихся прямых | , | diag(0, 1, –1) | ||||
Парабола | ||||||
Пара параллельных прямых | diag(–1, 1, 0) | |||||
Пара параллельных мнимых прямых | diag(1, 1, 0) | |||||
Пара совпавших параллельных прямых | diag(0, 1, 0) |
Доказательство. Любую кривую 2-го порядка в соответствующих аффинных координатах можно описать одним из перечисленных канонических уравнений. Действительно, и rgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: или . Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матриц A.
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 958;