Алгебраическая поверхность

Пусть некоторый полином от n переменных. Алгебраической поверхностью называется множество решений уравнения , порядком алгебраической поверхности называется максимальная степень полинома. Если n=2, то алгебраическая поверхность называется алгебраической кривой.

Под аффинной заменой координат будем понимать замену вида , где P – невырожденная матрица.

Теорема 5.1При аффиной заменой координат порядок поверхности не меняется.

Доказательство. Непосредственной подстановкой легко проверить, что при аффинной замене координат порядок поверхности не возрастает. Возврат к исходной системе координат является аффинным преобразованием. Значит, порядок поверхности не может и убывать.

Уравнение квадрики.

Алгебраическая поверхность второго порядка называется квадрикой. Общее уравнение квадрики можно записать в следующем виде . Положим и . Уравнение квадрики в новых обозначениях принимает вид . Матрица называется расширенной матрицей квадрики.