Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».

Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):

Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено

- масса i-го звена;

- положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;

- положение центра масс i-го звена относительно начала

системы координат ;

- положение начала i-й системы координат относительно

начала -й системы координат;

- линейная скорость центра масс i-го звена;

- линейное ускорение центра масс i-го звена;

-суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс

i-го звена;

-суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му

звену;

- матрица инерции i-го звена относительно его центра

масс в базовой системе координат ;

- сила, с которой -е звено действует на i-е звено в

системе координат ;

- момент, вызванный действием -го звена на i-е

звено в системе координат .

Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:

, (13-1)

. (13-2)

Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:

, (13-3)

. (13-4)

Суммарная сила и момент , приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних -го и -го звеньев. Таким образом:

, (13-5)

(13-6)

Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:

, (13-7)

. (13-8)

Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов , действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что и представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора. Момент, создаваемый приводом i-го сочленения, должен быть равен сумме проекции момента на ось и момента вязкого трения в i-м сочленении (если сочленение – вращательное). Если же i-е сочленение – поступательное, оно реализует смещение на единиц длины относительно системы координат вдоль оси . В этом случае сила , создаваемая в этом сочленении, должна быть равна в системе координат сумме проекции силы на ось и силы вязкого трения. Таким образом, момент (сила) , создаваемый приводом i-го сочленения, определяется формулой:

, (13-9)

где - коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.

Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то , , и с учетом силы тяжести:

, где . (13-10)

Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:

1. удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;

2. эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;

3. достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.

Лекция 14

Планирование траекторий манипулятора

Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:

1. существуют ли на его пути какие-либо препятствия;

2. накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.

В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 14.1).

Таблица 14.1. Типы управления манипулятором

Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.

При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:

1. Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.

2. Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.

Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:

1) задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;

2) планирование траектории может осуществляться в реальном времени;

3) траектории в присоединенных переменных легче планировать.

4) Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».

Рисунок 14.1. Блок-схема планировщика траекторий

Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.

В общем случае основной алгоритм формирования узловых точек траектории в пространстве присоединенных переменных весьма прост:

;

цикл: ждать следующего момента коррекции;

;

=заданное положение манипулятора в пространстве присоединенных переменных

в момент времени ;

Если , выйти из процедуры;

Выполнить цикл.

Здесь – интервал времени между двумя последовательными моментами коррекции параметров движения манипулятора.

Из алгоритма видно, что все вычисления производятся для определения траекторной функции , которая должна обновляться в каждой точке коррекции параметров движения манипулятора.

На планируемую траекторию накладывается четыре ограничения:

1) Узловые точки должны легко вычисляться нерекуррентным способом.

2) Промежуточные положения должны определяться однозначно.

3) Должна быть обеспечена непрерывность присоединенных координат и их двух первых производных, чтобы планируемая траектория в пространстве присоединенных переменных была гладкой.

4)

Перечисленным ограничениям удовлетворяют траектории, описываемые последовательностями полиномов.

В общем случае планирование траекторий в декартовых координатах состоит из двух последовательных шагов:

1) формирование последовательности узловых точек в декартовом пространстве, расположенных вдоль планируемой траектории схвата;

2) выбор некоторого класса функций, аппроксимирующих участки траектории между узловыми точками в соответствии с некоторым критерием (например, прямые, дуги круга, параболы и т.п.).

Первый подход позволяет обеспечить высокую точность движения вдоль заданной траектории. Однако, при отсутствии датчиков положения схвата в декартовых координатах, для перевода декартовых координат в присоединенные требуется большое количество вычислений, что замедляет время движения манипулятора. Поэтому используется второй подход – декартовы координаты узловых точек преобразуются в соответствующие присоединенные координаты с последующим проведением интерполяции в пространстве присоединенных переменных полиномами низкой степени. Это сокращает вычисления и позволяет учесть ограничения динамики манипулятора. Но точность движения снижается.