Уравнения Навье-Стокса

В гидромеханике широко применяется модель вязкой жидкости, называемой «ньютоновской». Некоторые сведения об этой модели уже приводились в гл. 2. В общем виде реологические соотношения, определяющие эту модель, имеют вид:

(5.11)

Формулы (5.11) получены для несжимаемой вязкой жидкости. В случае сжимаемой жидкости (вязкого газа) они имеют несколько другой вид, в котором присутствует еще один коэффициент, называемый второй вязкостью и связанный со сжимаемостью среды. Подробное объяснение и вывод формул (5.11) можно найти во многих учебниках по гидромеханике, например, в фундаментальной монографии Л. Г. Лойцянского [«Механика жидкости и газа»].

В частном случае чисто сдвигового течения, происходящего параллельно плоскости в направлении оси , вектор скорости имеет только одну отличную от нуля компоненту , зависящую от координаты : , поэтому формулы (5.11) дают:

Отсюда видно, что отлична от нуля только одна компонента касательных напряжений , для которой получается выражение, совпадающее с соответствующей формулой гл. 3.

Подставляя выражения для напряжений (5.11) в уравнения движения (5.8), получаем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:

(5.12)

Эти уравнения представляют систему дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Вместе с уравнением неразрывности (5.4), они образуют замкнутую систему уравнений для описания движения вязкой несжимаемой жидкости.